Робочий аркуш «Оптимізація» з відповідями

Фермер має 80 m огорожі, щоб огородити прямокутне поле вздовж прямої річки. Уздовж річки огорожа не потрібна. Знайдіть найбільшу площу A, яку можна огородити.

Відкриту коробку виготовляють з прямокутного аркуша картону 30 cm × 48 cm, вирізаючи з чотирьох кутів однакові квадрати зі стороною x і загинаючи бічні стінки. Знайдіть виріз x, що дає найбільший об’єм.

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €20 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

Прямокутну ділянку площею 400 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €15 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €25 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 200 + 4q + 0,25q² євро. Знайдіть обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 190 − 1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 900 + 105q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.