Робочий аркуш «Оптимізація» з відповідями

Відкриту коробку виготовляють з прямокутного аркуша картону 18 cm × 48 cm, вирізаючи з чотирьох кутів однакові квадрати зі стороною x і загинаючи бічні стінки. Знайдіть виріз x, що дає найбільший об’єм.

Прямокутний загін огороджують 360 m огорожі й ділять на дві частини ще однією огорожею, паралельною сторонам довжини x (загалом три огорожі довжини x і дві довжини y). Знайдіть довжину x, що дає найбільшу загальну площу.

Прямокутну ділянку площею 450 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 250 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть висоту h банки, за якої витрата матеріалу найменша.

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 120 − 0,1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1200 + 85q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 100 − 0,25q євро за одиницю, а витрати C(q) = 3400 + 25q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.