Bài tập AP Calculus: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp: thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực: chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Quy tắc L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp: viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình

Tìm giới hạn L = lim_x→∞ (√(9x² − 9x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 9x) − 3xx → ∞

L =

2.Giới hạnKhó

Tìm giới hạn L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), với x tính bằng radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = ln(3x² + 5). Tìm f′(1).

f(x) = ln(3x² + 5)x = 1

f′(1) =

4.Đạo hàmKhó

Tiếp tuyến của f(x) = 2x² + 2x − 6 tại x = 1 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = 2x² + 2x − 6x = 1

b =

5.Tối ưu hóaTrung bình

Một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 400 m² được rào cả bốn phía. Cạnh dọc theo mặt đường, dài x, tốn €40 mỗi mét; ba cạnh còn lại tốn €10 mỗi mét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất C.

A = 400 m²€40/m€10/m

C = €

6.Tối ưu hóaKhó

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €25 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 800 + 14q + 0,02q² euro. Tìm lợi nhuận lớn nhất P.

p = €25C = 800 + 14q + 0,02q²

P = €

7.Tích phânTrung bình

Miền dưới y = √(4x) từ x = 0 đến x = 2 được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể (một paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

8.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = 0,5x² và y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

9.Phương trình vi phânTrung bình

Giải y″ + 6y′ + 9y = 0 với y(0) = 1 và y′(0) = 4. Tìm y(2).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(2) =

10.Phương trình vi phânKhó

Một hệ thỏa y″ + y′ + 25,25y = 126,3 với t ≥ 0, bắt đầu từ trạng thái nghỉ: y(0) = 0, y′(0) = 0. Tìm y(0,75); góc tính theo radian.

y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.Dãy số & chuỗiTrung bình

Đúng một trong bốn chuỗi phân kỳ. Hãy nhấp vào nó.

A: Σ 1/k⁴B: Σ 1/(k² + 5)C: Σ 3ᵏ/k³D: Σ 2ᵏ/k!

1A: Σ 1/k⁴
2B: Σ 1/(k² + 5)
3C: Σ 3ᵏ/k³
4D: Σ 2ᵏ/k!

12.Dãy số & chuỗiKhó

f(x) = sin x được xấp xỉ tại x = 2 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 0,001.

f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 0,001

n =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = −1,5

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Nhân với biểu thức liên hợp

f(x) = −9x/(√(9x² − 9x) + 3x)

Chia cho x

f(x) = −9/(√(9 + (−9)/x) + 3)

Cho x → ∞

L = −9/(3 + 3) = −1,5

Đáp số

L = −1,5

2.Giới hạn

Đáp số: L = 12,5

Áp dụng lần thứ nhất

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Áp dụng lần thứ hai

25·cos 5x/2

Thay x = 0

L = 25/2 = 12,5

Đáp số

L = 12,5

3.Đạo hàm

Đáp số: f′(1) = 0,75

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc dây chuyền cho logarit

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Thay giá trị

f′(1) = 6/8 = 0,75

Đáp số

f′(1) = 0,75

4.Đạo hàm

Đáp số: b = −8

Điểm và hệ số góc

f(1) = −2

f′(x) = 4x + 2 → f′(1) = 6

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 6·1 = −8

Đáp số

b = −8

5.Tối ưu hóa

Đáp số: C = 1265 €

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Chi phí theo x

C(x) = 50x + 8000/x

Cho đạo hàm bằng không

C″(x) = 16000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.

x = √(8000/50) = 12,65 m

y = 400/12,65 = 31,62 m

Chi phí nhỏ nhất

C = 50·12,65 + 8000/12,65 = €1265

Đáp số

C = €1265

6.Tối ưu hóa

Đáp số: P = 712,5 €

Hàm lợi nhuận

P(q) = 25q − (800 + 14q + 0,02q²) = −0,02q² + 11q − 800

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −0,04 < 0, nên đây là cực đại.

11 − 0,04q = 0 → q = 275

Lợi nhuận lớn nhất

P = 11·275 − 0,02·275² − 800 = €712,5

Đáp số

P = €712,5

7.Tích phân

Đáp số: V = 25,13

Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.

Phương pháp đĩa

V = π∫₀² 4x dx

Lấy tích phân

V = π·4·2²/2 = 25,13

Đáp số

V = 25,13

8.Tích phân

Đáp số: A = 42,67

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các giao điểm

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Đáp số

A = 42,67

9.Phương trình vi phân

Đáp số: y(2) = 0,03718

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Nghiệm kép

(r + 3)² = 0 → r = −3

Các hằng số

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 3A → B = 4 + 3 = 7

Tính giá trị

y(2) = (1 + 7·2)·e⁻⁶ = 0,03718

Đáp số

y(2) = 0,03718

10.Phương trình vi phân

Đáp số: y(0.75) = 8,016

Giá trị xác lập và các nghiệm

y_ss = 5, r = −0,5 ± 5j

Các hằng số từ các giá trị ban đầu

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,5

Tính giá trị

y(0,75) = 5·(1 − e^−0,375(cos 3,75 + 0,1·sin 3,75)) = 8,016

Đáp số

y(0,75) = 8,016

11.Dãy số & chuỗi

Đáp số: C: Σ 3ᵏ/k³

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Kiểm tra từng chuỗi

A: Σ 1/k⁴ → Chuỗi p với p = 4 > 1: hội tụ.

B: Σ 1/(k² + 5) → Nhỏ hơn 1/k², một chuỗi p hội tụ: hội tụ theo so sánh.

C: Σ 3ᵏ/k³ → Tiêu chuẩn tỉ số: L = 3 > 1, phân kỳ.

D: Σ 2ᵏ/k! → Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1, hội tụ.

Đáp án

C: Σ 3ᵏ/k³

Đáp số

C: Σ 3ᵏ/k³

12.Dãy số & chuỗi

Đáp số: n = 9

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Các chặn khi n tăng

n = 8: 0,001411 ≥ 0,001

n = 9: 0,0002822 < 0,001

Bậc nhỏ nhất

n = 9

Đáp số

n = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice