Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Bài tập AP Statistics: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Kiểm định chi bình phương
- Thống kê kiểm định
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Độ phù hợp
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Tính độc lập
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Giá trị tới hạn (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Quyết định
- bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 25, 46, 28, 44, 14.
n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 600 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 50x = 600
P =
3.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 2 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 2
P =
4.Xác suấtKhó
12 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,7, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 12p = 0,7
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 57 và 70,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 70,5
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
8.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 74?
n = 6ŷ = 74
x =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 12 phần tử có trung bình 114,5 và độ lệch chuẩn s = 19,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 12x̄ = 114,5s = 19,590%t(11) = 1,796
E =
10.Khoảng tin cậyKhó
Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,03?
p = 0,5E = 0,0399%
n =
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 501,3 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,3s = 5n = 81
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 36 phép đo có trung bình 128. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 128σ = 20n = 3690%
L =
13.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1002 × 3
χ² =
14.Kiểm định chi bình phươngKhó
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 4 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
k = 4
df =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 13,48
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 157/5 = 31,4
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−6,4)² + 14,6² + (−3,4)² + 12,6² + (−17,4)² = 727,2
Độ lệch chuẩn
s = √(727,2/4) = 13,48
Đáp số
s = 13,48
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,02275
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
3.Xác suất
Đáp số: P = 0,3056
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Đáp số
P = 0,3056
4.Xác suất
Đáp số: P = 1,541 × 10⁻⁵
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,312 = 5,314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0,7·0,311 = 1,488 × 10⁻⁵
Cộng lại
P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵
Đáp số
P = 1,541 × 10⁻⁵
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,497
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,55) − Φ(−0,8) = 0,7088 − 0,2119 = 0,497
Đáp số
P = 0,497
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Chuẩn hóa
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
7.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9309
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 355/5 = 71
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Syy = Σ(y − ȳ)² = 758
Hệ số xác định
r² = 84²/(10·758) = 0,9309
Đáp số
r² = 0,9309
Khoảng 93,09% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
8.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 4,501
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 415/6 = 69,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84,5
Đường hồi quy
b = 84,5/17,5 = 4,829
a = 69,17 − 4,829·3,5 = 52,27
ŷ = 52,27 + 4,829·x
Giải tìm x
x = (74 − 52,27)/4,829 = 4,501
Đáp số
x = 4,501
9.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 10,11
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Sai số biên
E = 1,796·19,5/√12 = 10,11
Đáp số
E = 10,11
10.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Giải tìm n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843
Làm tròn lên
n = 1844
Đáp số
n = 1844
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,34
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Thống kê kiểm định
t = (501,3 − 500)/0,5556 = 2,34
Đáp số
t = 2,34
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 122,5
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·20/√36 = 5,483
Giới hạn của khoảng
L = 128 − 5,483 = 122,5
Đáp số
L = 122,5
13.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: χ² = 2,188
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
thành thị: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24
nông thôn: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16
Thống kê chi bình phương
χ² = (18 − 18)²/18 + (15 − 18)²/18 + (27 − 24)²/24 + (12 − 12)²/12 + (15 − 12)²/12 + (13 − 16)²/16
χ² = 2,188
Đáp số
χ² = 2,188
df = 2. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 5,991, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
14.Kiểm định chi bình phương
Đáp số: df = 3
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = 4 − 1 = 3
Đáp số
df = 3
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice