Bài tập AP Statistics: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Kiểm định chi bình phương

Thống kê kiểm định
χ² = Σ(O − E)²/E
Độ phù hợp
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Tính độc lập
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Giá trị tới hạn (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Quyết định
bác bỏ H0 nếu χ² > χ²crit

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
3035404550

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 34, 45, 29, 52, 45.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 40,4 là bao nhiêu?

μ = 50σ = 8x = 40,4
P =
3.Xác suấtTrung bình
P(ít nhất một mặt sáu) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(sáu) = 1/6 ở mỗi lần tung

Gieo một con xúc xắc cân đối 8 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 8
P =
4.Xác suấtKhó
n = 7, p = 0,5: P(X = 5) = ?k01234567

Một bài kiểm tra có 7 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 5 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,5k = 5
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
88,75130P = ?

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 88,75 và 130 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x1 = 88,75x2 = 130
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
0,05 mm0D − d?

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy121222318416513xy241520

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 15Σy = 90Σx² = 55Σy² = 1674Σxy = 248
r =
8.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy284126158161023xy510101520x = 3

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3, 7) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3, 7)
e =
9.Khoảng tin cậyTrung bình
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 50 điện thoại, trung bình 89,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 8 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 84,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 12 h. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 89,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 84,5 hσ₂ = 12 h99%
giới hạn trên = h
10.Khoảng tin cậyKhó
n = 10σ = ?Us = 5,295%

Đường kính của 10 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 5,2 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 9, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 2,7 và 2,5% nằm trên 19,023.

n = 10s = 5,2 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,06402,064

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 76,2 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,2s = 5n = 25
t =
12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
μ₀x̄c

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ > 50 được thực hiện ở mức α = 0,05 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 12,5. Trên thực tế trung bình là 57,25. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 50μ = 57,25σ = 12,5n = 25α = 0,05
β = %
13.Kiểm định chi bình phươngTrung bình
cải thiệnkhông cải thiệnTổngthuốc mới433780giả dược481260Tổng9149140

Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.

N = 1402 × 2
χ² =
14.Kiểm định chi bình phươngKhó

Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 4 cột (không tính các tổng). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?

2 × 4
df =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 9,301

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 205/5 = 41

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 4² + (−12)² + 11² + 4² = 346

Độ lệch chuẩn

s = √(346/4) = 9,301

Đáp số

s = 9,301
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,7674

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Đáp số

P = 0,7674
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,1641

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 5) = 21·0,55·0,52 = 21·0,03125·0,25 = 0,1641

Đáp số

P = 0,1641
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7506

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75
z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Diện tích ở giữa

P = Φ(2) − Φ(−0,75) = 0,9772 − 0,2266 = 0,7506

Đáp số

P = 0,7506
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9772

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Xác suất

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772
7.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9467

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 248 − 15·90/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1674 − 90²/5 = 54

Hệ số tương quan

r = −22/√(10·54) = −0,9467

Đáp số

r = −0,9467
8.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,7

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14,8

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

Đường hồi quy

b = 68/40 = 1,7
a = 14,8 − 1,7·6 = 4,6
ŷ = 4,6 + 1,7·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 4,6 + 1,7·3 = 9,7

Phần dư

e = 7 − 9,7 = −2,7

Đáp số

e = −2,7

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

9.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 9,942 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 89,5 − 84,5 = 5

Sai số chuẩn

SE = √(8²/50 + 12²/60) = 1,918

Sai số biên

E = 2,576·1,918 = 4,942

Khoảng

5 ± 4,942 → [0,05838, 9,942]

Đáp số

giới hạn trên = 9,942 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

10.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 3,577 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 9·5,2² = 243,4

Các giới hạn cho σ²

243,4/19,023 = 12,79
243,4/2,7 = 90,13

Giới hạn cho σ

σ = √12,79 = 3,577 µm

Đáp số

σ = 3,577 µm

Khoảng 95% cho σ: [3,577, 9,494] µm.

11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Thống kê kiểm định

t = (76,2 − 75)/1 = 1,2

Đáp số

t = 1,2
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 10,47 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 50 + 1,645·2,5 = 54,11

z theo trung bình thật

z = (54,11 − 57,25)/2,5 = −1,255

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z > −1,255) = 89,53%
β = 100% − 89,53% = 10,47%

Đáp số

β = 10,47%
13.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: χ² = 10,38

Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.

Số đếm kỳ vọng

thuốc mới: 80·91/140 = 52, 80·49/140 = 28
giả dược: 60·91/140 = 39, 60·49/140 = 21

Thống kê chi bình phương

χ² = (43 − 52)²/52 + (37 − 28)²/28 + (48 − 39)²/39 + (12 − 21)²/21
χ² = 10,38

Đáp số

χ² = 10,38

df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) bị bác bỏ.

14.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: df = 3

Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.

Bậc tự do

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Đáp số

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice