Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx
Phương pháp
Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Giải tích nhiều biến
Các đạo hàm riêng
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Tọa độ cực
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Phương pháp
Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
2.Tích phânKhó
Tính I = ∫₀1,5 x²·eˣ dx.
∫₀1,5 x²eˣ dx
I =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Chuỗi lũy thừa Σk=1∞ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏ hội tụ trên một khoảng quanh x₀ = −1. Hãy tìm đầu mút trái x của khoảng đó.
Σ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏx₀ = −1
x =
4.Dãy số & chuỗiKhó
f(x) = cos x được xấp xỉ tại x = 0,5 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁶.
f(x) = cos xx = 0,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Giải tích nhiều biếnTrung bình
z = 4x²y − 5x² + 3xy với x = −3t − 1 và y = 2t². Hãy dùng quy tắc dây chuyền để tìm dz/dt tại t = −1.
z = 4x²y − 5x² + 3xyx = −3t − 1y = 2t²t = −1
dz/dt =
6.Giải tích nhiều biếnKhó
Hãy tính I = ∬R y dA, trong đó R là miền giữa parabol y = x² và đường thẳng y = x.
y = x²y = xf = y
I =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Một tách cà phê ở 87 °C được để trong phòng có nhiệt độ 23 °C. Sau 29 phút, nhiệt độ của nó là 27 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 57 °C?
T0 = 87 °CTa = 23 °CT(29) = 27 °CT = 57 °C
t = min
8.Phương trình vi phânKhó
Giải y″ + 2y′ + 10y = 0 với y(0) = 10 và y′(0) = 0 (thả từ trạng thái nghỉ). Tìm y(1,5); góc tính theo radian.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1.5) =
3Dung dịch
1.Tích phân
Đáp số: I = 12
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Phép đổi biến
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du
Lấy tích phân và tính giá trị
I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12
Đáp số
I = 12
2.Tích phân
Đáp số: I = 3,602
Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.
Lần thứ nhất
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
Lần thứ hai
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Giới hạn
4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602
Đáp số
I = 3,602
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: x = −3,718
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Các hệ số
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Bán kính
R = 2,718
Khoảng
−3,718 < x < 1,718
x = −3,718
Đáp số
x = −3,718
Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: n = 7
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Các chặn khi n tăng
n = 6: 1,55 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 7: 9,688 × 10⁻⁸ < 1 × 10⁻⁶
Bậc nhỏ nhất
n = 7
Đáp số
n = 7
5.Giải tích nhiều biến
Đáp số: dz/dt = −142
Gradient: ∇f = (fx, fy) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là Duf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Điểm và các tốc độ
x(−1) = 2, y(−1) = 2
dx/dt = −3, dy/dt = 4t = −4
Các đạo hàm riêng
fx = 8xy − 10x + 3y = 18
fy = 4x² + 3x = 22
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = 18·(−3) + 22·(−4) = −142
Đáp số
dz/dt = −142
6.Giải tích nhiều biến
Đáp số: I = 0,06667
Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có fx = fy = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = fxxfyy − fxy²: D > 0 và fxx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và fxx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).
Các giao điểm
x² = x → x = 0, x = 1
Tích phân trong
∫x²x y dy = [y²/2] = (x² − x⁴)/2
Tích phân ngoài
I = ∫01 (x² − x⁴)/2 dx = 0,06667
Đáp số
I = 0,06667
7.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 6,616 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Hằng số làm nguội
k = ln(64/4)/29 = 0,09561 min⁻¹
Thời gian để đạt giá trị mục tiêu
t = ln(64/34)/0,09561 = 6,616 min
Đáp số
t = 6,616 min
8.Phương trình vi phân
Đáp số: y(1.5) = −1,197
Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = ert: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·er₁t + B·er₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·ert (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.