Giải tích 2: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Giải tích nhiều biến

Các đạo hàm riêng: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Tọa độ cực: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Phương pháp

Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (f_x, f_y) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời f_x = 0 và f_y = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = f_xx·f_yy − f_xy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

2.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 1 − x² và trục x.

y = 1 − x²

A =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Hãy tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa Σ_k=1^∞ 9ᵏx²ᵏ/k.

Σ 9ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Dãy số & chuỗiKhó

Hãy tìm hệ số c₃ của (x − 4)³ trong chuỗi Taylor của f(x) = ln x quanh a = 4.

f(x) = ln xa = 4k = 3

c₃ =

5.Giải tích nhiều biếnTrung bình

Với f(x, y) = y·e^2xy, hãy tìm hướng tăng dốc nhất tại (1, 2) dưới dạng góc θ so với trục x dương, theo độ trong khoảng −180° đến 180°.

f(x, y) = y·e^2xyP = (1, 2)

θ = °

6.Giải tích nhiều biếnKhó

Tích phân I = ∫₀^0,8 ∫_x^0,8 sin(y²) dy dx không thể tính theo thứ tự này. Hãy đảo thứ tự lấy tích phân và tính nó.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8

I =

7.Phương trình vi phânTrung bình

Giải y″ + 4y′ + 4y = 0 với y(0) = 1 và y′(0) = 4. Tìm y(1).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(1) =

8.Phương trình vi phânKhó

Một hệ thỏa y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 với t ≥ 0, bắt đầu từ trạng thái nghỉ: y(0) = 0, y′(0) = 0. Tìm giá trị đỉnh y_max của đáp ứng bậc thang của nó.

y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3Dung dịch

1.Tích phân

Đáp số: I = 2,333

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Phép đổi biến

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Lấy tích phân và tính giá trị

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Đáp số

I = 2,333

2.Tích phân

Đáp số: A = 1,333

Các nghiệm

1 − x² = 0 → x = ±1

Lấy tích phân

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Đáp số

A = 1,333

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: R = 0,3333

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Các hệ số

Chuỗi theo x²: nó hội tụ khi 9·x² < 1, nên |x| < 1/3.

Bán kính

R = 0,3333

Đáp số

R = 0,3333

Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: c₃ = 0,005208

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Đạo hàm f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 2/x³

Hệ số

c₃ = f⁽³⁾(4)/3! = 2/(4³·6) = 0,005208

c₃ = 0,005208

Đáp số

c₃ = 0,005208

5.Giải tích nhiều biến

Đáp số: θ = 32,01 °

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là D_uf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Các đạo hàm riêng

f_x = 2y²e^2xy → f_x(1, 2) = 436,8

f_y = e^2xy(1 + 2xy) → f_y(1, 2) = 273

Hướng

θ = atan2(273, 436,8) = 32,01°

Đáp số

θ = 32,01°

6.Giải tích nhiều biến

Đáp số: I = 0,09895

Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có f_x = f_y = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 và f_xx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và f_xx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).

Miền

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 0,8

Thứ tự đảo ngược

I = ∫₀^0,8 ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀^0,8 y·sin(y²) dy

Phép thế u = y²

I = [−cos(y²)/2]₀^0,8 = 0,09895

Đáp số

I = 0,09895

7.Phương trình vi phân

Đáp số: y(1) = 0,9473

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Nghiệm kép

(r + 2)² = 0 → r = −2

Các hằng số

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = 4 + 2 = 6

Tính giá trị

y(1) = (1 + 6·1)·e⁻² = 0,9473

Đáp số

y(1) = 0,9473

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y_max = 2,779

Giá trị xác lập và các nghiệm

y_ss = 2, r = −1,5 ± 5j

Các hằng số từ các giá trị ban đầu

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −0,6

Đỉnh

t = π/5 = 0,6283

y_max = 2·(1 + e^−1,5·π/5) = 2,779

Đáp số

y_max = 2,779

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2