Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx
Phương pháp
Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Giải tích nhiều biến
Các đạo hàm riêng
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Tọa độ cực
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Phương pháp
Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫03 e−x dx.
f(x) = e−x[0, 3]
I =
2.Tích phânKhó
Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = x2 và y = x.
y = x2y = x
A =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Hãy áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho Σk=1∞ kᵏ/(5ᵏ·k!). Hãy tìm L = lim |ak+1/ak|.
ak = kᵏ/(5ᵏ·k!)
L =
4.Dãy số & chuỗiKhó
Hãy dùng đa thức Maclaurin bậc 3 của f(x) = eˣ để xấp xỉ f(2). Hãy cho P₃(2).
f(x) = eˣn = 3x = 2
P₃(2) =
5.Giải tích nhiều biếnTrung bình
Với f(x, y) = −y·exy, hãy tìm tốc độ thay đổi lớn nhất của f tại điểm (−1, −1), tức là |∇f|.
f(x, y) = −y·exyP = (−1, −1)
|∇f| =
6.Giải tích nhiều biếnKhó
f(x, y) = −2x² + xy − y² + 6x − 5y + 2 có một điểm tới hạn tại (1, −2). Hãy tính biệt thức D = fxxfyy − fxy² tại đó.
f(x, y) = −2x² + xy − y² + 6x − 5y + 2P = (1, −2)
D =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Một lon nước ngọt ở 5 °C được lấy từ tủ lạnh ra phòng có nhiệt độ 22 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Với k = 0,03 min⁻¹, tìm nhiệt độ T sau 22 phút.
T0 = 5 °CTa = 22 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 22 min
T = °C
8.Phương trình vi phânKhó
Giải bài toán giá trị ban đầu y′ + y/x = 2x2 với x > 0, y(1) = 2. Tìm y(3).
y′ + y/x = 2x2y(1) = 2
y(3) =
3Dung dịch
1.Tích phân
Đáp số: I = 0,9502
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Nguyên hàm
F(x) = e−x/(−1)
Tính tại các cận
I = (e−3 − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502
Đáp số
I = 0,9502
2.Tích phân
Đáp số: A = 0,1667
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Các giao điểm
x2 = x → x = 0, x = 1
Lấy tích phân của trên trừ dưới
A = [0,5x2 − 0,3333x3]01 = 0,1667
Đáp số
A = 0,1667
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: L = 0,5437
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Tỉ số của các số hạng liên tiếp
|ak+1/ak| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5
Kết luận
L = 0,5437 < 1
Đáp số
L = 0,5437
L < 1, nên chuỗi hội tụ.
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: P₃(2) = 6,333
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Đa thức Maclaurin
P₃(x) = 1 + x + 0,5x² + 0,1667x³
Thay giá trị
P₃(2) = 1 + 2 + 2 + 1,333333 = 6,333
Đáp số
P₃(2) = 6,333
Giá trị chính xác là f(2) = 7,389056; sai số 1,055723 giảm khi bạn lấy thêm số hạng hoặc một điểm gần 0 hơn.
5.Giải tích nhiều biến
Đáp số: |∇f| = 6,078
Gradient: ∇f = (fx, fy) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là Duf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Các đạo hàm riêng
fx = −y²exy → fx(−1, −1) = −2,718
fy = −exy(1 + xy) → fy(−1, −1) = −5,437
Độ dài của gradient
|∇f| = √((−2,718)² + (−5,437)²) = 6,078
Đáp số
|∇f| = 6,078
6.Giải tích nhiều biến
Đáp số: D = 7
Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có fx = fy = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = fxxfyy − fxy²: D > 0 và fxx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và fxx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).
Các đạo hàm cấp hai
fxx = −4, fyy = −2, fxy = 1
Biệt thức
D = (−4)·(−2) − 1² = 7
→ cực đại địa phương
Đáp số
D = 7
7.Phương trình vi phân
Đáp số: T = 13,21 °C
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Nghiệm của định luật làm nguội
T(t) = 22 + (−17)·e−0,03t
Thay t
T(22) = 22 + (−17)·0,5169 = 13,21 °C
Đáp số
T = 13,21 °C
8.Phương trình vi phân
Đáp số: y(3) = 14
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.