Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx
Phương pháp
Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Giải tích nhiều biến
Các đạo hàm riêng
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Tọa độ cực
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Phương pháp
Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫14 5/x dx.
f(x) = 5/x[1, 4]
I =
2.Tích phânKhó
Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = 2x2 và y = x.
y = 2x2y = x
A =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Hãy áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho Σk=1∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)!. Hãy tìm L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·5ᵏ/(2k)!
L =
4.Dãy số & chuỗiKhó
Hãy tìm hệ số c₂ của (x − 1)² trong chuỗi Taylor của f(x) = √x quanh a = 1.
f(x) = √xa = 1k = 2
c₂ =
5.Giải tích nhiều biếnTrung bình
Hãy dùng mặt phẳng tiếp xúc của f(x, y) = −4x³y² − 2x² + 2y³ + 2xy tại (2, 3) để xấp xỉ f(1,8, 3,1). Hãy cho xấp xỉ tuyến tính L.
Hãy dùng tọa độ cực để tính I = ∬R e−(x² + y²) dA, trong đó R là hình vành khuyên 0,25 ≤ x² + y² ≤ 4.
f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Một tách cà phê ở 95 °C được để trong phòng có nhiệt độ 21 °C. Sau 13 phút, nhiệt độ của nó là 60 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sau khi bắt đầu bao lâu, t, thì đạt tới 85 °C?
T0 = 95 °CTa = 21 °CT(13) = 60 °CT = 85 °C
t = min
8.Phương trình vi phânKhó
Một bể chứa 400 L nước trong đó hòa tan 20 kg muối. Nước muối với 0,1 kg muối mỗi lít chảy vào với tốc độ 4 L/min, và dung dịch đã trộn đều chảy ra với cùng tốc độ. Sau bao nhiêu phút t thì bể chứa 32 kg muối?
V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Dung dịch
1.Tích phân
Đáp số: I = 6,931
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Nguyên hàm
F(x) = 5·ln x
Tính tại các cận
I = 5·(ln 4 − ln 1) = 5·ln 4 = 6,931
Đáp số
I = 6,931
2.Tích phân
Đáp số: A = 0,04167
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Các giao điểm
2x2 = x → x = 0, x = 0,5
Lấy tích phân của trên trừ dưới
A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167
Đáp số
A = 0,04167
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: L = 1,25
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Tỉ số của các số hạng liên tiếp
|ak+1/ak| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4
Kết luận
L = 1,25 > 1
Đáp số
L = 1,25
L > 1, nên chuỗi phân kỳ.
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: c₂ = −0,125
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Đạo hàm f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −0,25·x1/2 − 2
Hệ số
c₂ = −0,25·11/2 − 2/2! = −0,125
c₂ = −0,125
Đáp số
c₂ = −0,125
5.Giải tích nhiều biến
Đáp số: L = −156,6
Gradient: ∇f = (fx, fy) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là Duf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Giá trị và độ dốc tại điểm đó
f(2, 3) = −230
fx = −12x²y² − 4x + 2y → fx(2, 3) = −434
fy = −8x³y + 6y² + 2x → fy(2, 3) = −134
Mặt phẳng tiếp xúc
z = −230 − 434(x − 2) − 134(y − 3)
z = −434x − 134y + 1040
Xấp xỉ tuyến tính
L = −230 + (−434)·(−0,2) + (−134)·0,1 = −156,6
Đáp số
L = −156,6
Giá trị chính xác là f = −159,92008; mặt phẳng gần đúng vì bước nhỏ.
6.Giải tích nhiều biến
Đáp số: I = 2,389
Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có fx = fy = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = fxxfyy − fxy²: D > 0 và fxx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và fxx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).
Dạng cực
I = ∫02π ∫0,52 e−r²·r dr dθ
Lấy tích phân
∫ e−r²·r dr = [−e−r²/2]
I = 2,389
Đáp số
I = 2,389
7.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 2,947 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.
Hằng số làm nguội
k = ln(74/39)/13 = 0,04927 min⁻¹
Thời gian để đạt giá trị mục tiêu
t = ln(74/64)/0,04927 = 2,947 min
Đáp số
t = 2,947 min
8.Phương trình vi phân
Đáp số: t = 91,63 min
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.