Giải tích 2: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Giải tích nhiều biến

Các đạo hàm riêng: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Tọa độ cực: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Phương pháp

Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (f_x, f_y) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời f_x = 0 và f_y = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = f_xx·f_yy − f_xy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

2.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = 2x² và y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Chuỗi lũy thừa Σ_k=1^∞ 2ᵏ·(x + 2)ᵏ/(k + 1) hội tụ trên một khoảng quanh x₀ = −2. Hãy tìm đầu mút phải x của khoảng đó.

Σ 2ᵏ·(x + 2)ᵏ/(k + 1)x₀ = −2

x =

4.Dãy số & chuỗiKhó

Hãy tìm hệ số c₂ của (x − 16)² trong chuỗi Taylor của f(x) = √x quanh a = 16.

f(x) = √xa = 16k = 2

c₂ =

5.Giải tích nhiều biếnTrung bình

Với f(x, y) = 2x²y³ + x³ − 2y³ − 4xy, hãy tìm đạo hàm theo hướng D_uf tại (2, −2) theo hướng v = (−2, −4).

f(x, y) = 2x²y³ + x³ − 2y³ − 4xyP = (2, −2)v = (−2, −4)

D_uf =

6.Giải tích nhiều biếnKhó

Các điểm được đánh dấu là các điểm tới hạn của f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Hãy nhấp vào điểm yên ngựa.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (2, 2)
2B (0, 0)
3C (−2, −2)

7.Phương trình vi phânTrung bình

Một lon nước ngọt ở 3 °C được lấy từ tủ lạnh ra phòng có nhiệt độ 26 °C. Sau 21 phút, nhiệt độ của nó là 18 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.

T₀ = 3 °CT_a = 26 °CT(21) = 18 °C

k = min⁻¹

8.Phương trình vi phânKhó

Một hệ thỏa y″ + y′ + 25,25y = 25,25 với t ≥ 0, bắt đầu từ trạng thái nghỉ: y(0) = 0, y′(0) = 0. Tìm y(1); góc tính theo radian.

y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3Dung dịch

1.Tích phân

Đáp số: I = 0,4069

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Đáp số

I = 0,4069

2.Tích phân

Đáp số: A = 0,3333

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các giao điểm

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Đáp số

A = 0,3333

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: x = −1,5

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Các hệ số

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0,5

Bán kính

R = 0,5

Khoảng

−2,5 < x < −1,5

x = −1,5

Đáp số

x = −1,5

Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: c₂ = −0,001953

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Đạo hàm f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

Hệ số

c₂ = −0,25·16^{1/2 − 2}/2! = −0,001953

c₂ = −0,001953

Đáp số

c₂ = −0,001953

5.Giải tích nhiều biến

Đáp số: D_uf = −37,57

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là D_uf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradient tại điểm đó

f_x = 4xy³ + 3x² − 4y → f_x(2, −2) = −44

f_y = 6x²y² − 6y² − 4x → f_y(2, −2) = 64

Vectơ đơn vị

|v| = √((−2)² + (−4)²) = 4,472

u = (−0,4472, −0,8944)

Tích vô hướng

D_uf = (−44)·(−0,4472) + 64·(−0,8944) = −37,57

Đáp số

D_uf = −37,57

6.Giải tích nhiều biến

Đáp số: B (0, 0)

Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có f_x = f_y = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 và f_xx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và f_xx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).

Các điểm tới hạn

Hãy giải đồng thời f_x = 0 và f_y = 0.

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

Phép thử đạo hàm cấp hai

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → điểm yên ngựa

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → cực tiểu địa phương

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → cực tiểu địa phương

Điểm

B (0, 0): điểm yên ngựa

Đáp số

B (0, 0)

7.Phương trình vi phân

Đáp số: k = 0,05029 min⁻¹

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Tỉ số các hiệu nhiệt độ

e^−21k = -8/-23

Giải tìm k

k = ln(-23/-8)/21 = 0,05029 min⁻¹

Đáp số

k = 0,05029 min⁻¹

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y(1) = 0,8861

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Giá trị xác lập và các nghiệm

y_ss = 1, r = −0,5 ± 5j

Các hằng số từ các giá trị ban đầu

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,1

Tính giá trị

y(1) = 1·(1 − e^−0,5(cos 5 + 0,1·sin 5)) = 0,8861

Đáp số

y(1) = 0,8861

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2