Giải tích 2: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Giải tích nhiều biến

Các đạo hàm riêng: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Tọa độ cực: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Phương pháp

Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (f_x, f_y) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời f_x = 0 và f_y = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = f_xx·f_yy − f_xy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₂⁸ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 8]

I =

2.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = x² và y = x.

y = x²y = x

A =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Hãy áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. Hãy tìm L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.Dãy số & chuỗiKhó

Hãy tìm hệ số c₃ của (x + 1)³ trong chuỗi Taylor của f(x) = eˣ quanh a = −1.

f(x) = eˣa = −1k = 3

c₃ =

5.Giải tích nhiều biếnTrung bình

Với f(x, y) = −2x³y² − 4x³ − 3y², hãy tìm đạo hàm theo hướng D_uf tại (2, 2) theo hướng v = (4, 0).

f(x, y) = −2x³y² − 4x³ − 3y²P = (2, 2)v = (4, 0)

D_uf =

6.Giải tích nhiều biếnKhó

Hãy dùng tọa độ cực để tính I = ∬_R (x² + y²) dA, trong đó R là hình vành khuyên 0,25 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = x² + y²0,5 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π

I =

7.Phương trình vi phânTrung bình

Một chi tiết thép rèn ở 480 °C được để nguội trong xưởng có nhiệt độ 20 °C. Sau 57 phút, nhiệt độ của nó là 47 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.

T₀ = 480 °CT_a = 20 °CT(57) = 47 °C

k = min⁻¹

8.Phương trình vi phânKhó

Giải y′ + 0,5y = 4e^−t với y(0) = 5. Tìm y(2).

y′ + 0,5y = 4e^−ty(0) = 5

y(2) =

3Dung dịch

1.Tích phân

Đáp số: I = 1,386

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Nguyên hàm

F(x) = ln x

Tính tại các cận

I = (ln 8 − ln 2) = ln 4 = 1,386

Đáp số

I = 1,386

2.Tích phân

Đáp số: A = 0,1667

Các giao điểm

x² = x → x = 0, x = 1

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Đáp số

A = 0,1667

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: L = 0,7358

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Tỉ số của các số hạng liên tiếp

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Kết luận

L = 0,7358 < 1

Đáp số

L = 0,7358

L < 1, nên chuỗi hội tụ.

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: c₃ = 0,06131

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Đạo hàm f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = eˣ

Hệ số

c₃ = e⁻¹/3! = 0,06131

c₃ = 0,06131

Đáp số

c₃ = 0,06131

5.Giải tích nhiều biến

Đáp số: D_uf = −144

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là D_uf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradient tại điểm đó

f_x = −6x²y² − 12x² → f_x(2, 2) = −144

f_y = −4x³y − 6y → f_y(2, 2) = −76

Vectơ đơn vị

|v| = √(4² + 0²) = 4

u = (1, 0)

Tích vô hướng

D_uf = (−144)·1 + (−76)·0 = −144

Đáp số

D_uf = −144

6.Giải tích nhiều biến

Đáp số: I = 127,1

Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có f_x = f_y = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 và f_xx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và f_xx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).

Dạng cực

I = ∫₀^2π ∫_0,5³ r²·r dr dθ

Lấy tích phân

∫ r²·r dr = [r⁴/4]

I = 127,1

Đáp số

I = 127,1

7.Phương trình vi phân

Đáp số: k = 0,04974 min⁻¹

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Tỉ số các hiệu nhiệt độ

e^−57k = 27/460

Giải tìm k

k = ln(460/27)/57 = 0,04974 min⁻¹

Đáp số

k = 0,04974 min⁻¹

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y(2) = 3,7

Thừa số tích phân

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 4e^−0,5t

Nghiệm tổng quát

y = 4/(−0,5)·e^−t + C·e^−0,5t = −8·e^−t + C·e^−0,5t

Điều kiện ban đầu

5 = −8 + C → C = 13

Tính giá trị

y(2) = −8·0,1353 + 13·0,3679 = 3,7

Đáp số

y(2) = 3,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2