Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Tích phân
Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx
Phương pháp
Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Dãy số & chuỗi
Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Phương pháp
Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Giải tích nhiều biến
Các đạo hàm riêng
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Tọa độ cực
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Phương pháp
Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.
Phương trình vi phân
Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ
dy/dt = ky → y = y0ekt
Chu kỳ bán rã
k = ln 2 / t½
Định luật làm nguội Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Thừa số tích phân
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Bể trộn
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Bài tập
1.Tích phânTrung bình
Tính I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.Tích phânKhó
Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 9 − x² và trục x.
y = 9 − x²
A =
3.Dãy số & chuỗiTrung bình
Hãy áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho Σk=1∞ k·5ᵏ/2ᵏ. Hãy tìm L = lim |ak+1/ak|.
ak = k·5ᵏ/2ᵏ
L =
4.Dãy số & chuỗiKhó
f(x) = cos x được xấp xỉ tại x = 0,5 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁶.
f(x) = cos xx = 0,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Giải tích nhiều biếnTrung bình
Với f(x, y) = −2xy + 2x³ + 4y², hãy tìm đạo hàm theo hướng Duf tại (−2, −1) theo hướng v = (−3, −3).
Tích phân I = ∫02 ∫y2 sin(x²) dx dy không thể tính theo thứ tự này. Hãy đảo thứ tự lấy tích phân và tính nó.
f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
7.Phương trình vi phânTrung bình
Giải y″ + 4y′ + 4y = 0 với y(0) = 1 và y′(0) = 0. Tìm y(1,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Phương trình vi phânKhó
Giải bài toán giá trị ban đầu y′ + 2y/x = 3x2 với x > 0, y(1) = 5. Tìm y(3).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = 5
y(3) =
3Dung dịch
1.Tích phân
Đáp số: I = 41,33
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Phép đổi biến
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du
Lấy tích phân và tính giá trị
I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41,33
Đáp số
I = 41,33
2.Tích phân
Đáp số: A = 36
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Các nghiệm
9 − x² = 0 → x = ±3
Lấy tích phân
A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36
Đáp số
A = 36
3.Dãy số & chuỗi
Đáp số: L = 2,5
Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.
Tỉ số của các số hạng liên tiếp
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·5/2 → 5/2
Kết luận
L = 2,5 > 1
Đáp số
L = 2,5
L > 1, nên chuỗi phân kỳ.
4.Dãy số & chuỗi
Đáp số: n = 7
Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.
Các chặn khi n tăng
n = 6: 1,55 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 7: 9,688 × 10⁻⁸ < 1 × 10⁻⁶
Bậc nhỏ nhất
n = 7
Đáp số
n = 7
5.Giải tích nhiều biến
Đáp số: Duf = −15,56
Gradient: ∇f = (fx, fy) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là Duf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Gradient tại điểm đó
fx = −2y + 6x² → fx(−2, −1) = 26
fy = −2x + 8y → fy(−2, −1) = −4
Vectơ đơn vị
|v| = √((−3)² + (−3)²) = 4,243
u = (−0,7071, −0,7071)
Tích vô hướng
Duf = 26·(−0,7071) + (−4)·(−0,7071) = −15,56
Đáp số
Duf = −15,56
6.Giải tích nhiều biến
Đáp số: I = 0,8268
Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có fx = fy = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = fxxfyy − fxy²: D > 0 và fxx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và fxx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).
Miền
0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2
Thứ tự đảo ngược
I = ∫02 ∫0x sin(x²) dy dx = ∫02 x·sin(x²) dx
Phép thế u = x²
I = [−cos(x²)/2]02 = 0,8268
Đáp số
I = 0,8268
7.Phương trình vi phân
Đáp số: y(1.5) = 0,1991
Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = ert: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·er₁t + B·er₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·ert (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.
Nghiệm kép
(r + 2)² = 0 → r = −2
Các hằng số
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = 0 + 2 = 2
Tính giá trị
y(1,5) = (1 + 2·1,5)·e−3 = 0,1991
Đáp số
y(1,5) = 0,1991
8.Phương trình vi phân
Đáp số: y(3) = 16,69
Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·ekt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.