Giải tích 2: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Giải tích nhiều biến

Các đạo hàm riêng: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Tọa độ cực: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Phương pháp

Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (f_x, f_y) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
Với cực trị hãy giải đồng thời f_x = 0 và f_y = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = f_xx·f_yy − f_xy².
Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Bài tập

1.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

2.Tích phânKhó

Tính I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3.Dãy số & chuỗiTrung bình

Hãy tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa Σ_k=1^∞ k·5ᵏ·(x − 3)ᵏ.

Σ k·5ᵏ·(x − 3)ᵏx₀ = 3

R =

4.Dãy số & chuỗiKhó

f(x) = cos x được xấp xỉ tại x = 0,5 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 0,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.Giải tích nhiều biếnTrung bình

z = 5 sin(−2x + y) với x = −3t và y = −2t². Hãy dùng quy tắc dây chuyền để tìm dz/dt tại t = 1.

z = 5 sin(−2x + y)x = −3ty = −2t²t = 1

dz/dt =

6.Giải tích nhiều biếnKhó

Hãy dùng tọa độ cực để tính I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA, trong đó R là nửa trên của hình tròn x² + y² ≤ 2,25 (y ≥ 0).

f = e^{−(x² + y²)}0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π

I =

7.Phương trình vi phânTrung bình

Một tách cà phê ở 90 °C được để trong phòng có nhiệt độ 21 °C. Sau 29 phút, nhiệt độ của nó là 25 °C. Nó tuân theo định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Tìm hằng số k theo min⁻¹.

T₀ = 90 °CT_a = 21 °CT(29) = 25 °C

k = min⁻¹

8.Phương trình vi phânKhó

Giải y″ + 4y′ + 20y = 0 với y(0) = 5 và y′(0) = 0 (thả từ trạng thái nghỉ). Tìm y(1); góc tính theo radian.

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1) =

3Dung dịch

1.Tích phân

Đáp số: I = 156

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Phép đổi biến

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Lấy tích phân và tính giá trị

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Đáp số

I = 156

2.Tích phân

Đáp số: I = 0,7183

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Lần thứ nhất

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Lần thứ hai

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Giới hạn

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Đáp số

I = 0,7183

3.Dãy số & chuỗi

Đáp số: R = 0,2

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Các hệ số

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k/(k + 1)) → 1/5

Bán kính

R = 0,2

Đáp số

R = 0,2

Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.

4.Dãy số & chuỗi

Đáp số: n = 7

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Các chặn khi n tăng

n = 6: 1,55 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 7: 9,688 × 10⁻⁸ < 1 × 10⁻⁶

Bậc nhỏ nhất

n = 7

Đáp số

n = 7

5.Giải tích nhiều biến

Đáp số: dz/dt = −6,536

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là D_uf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Điểm và các tốc độ

x(1) = −3, y(1) = −2

dx/dt = −3, dy/dt = −4t = −4

Các đạo hàm riêng

f_x = −10 cos(−2x + y) = 6,536

f_y = 5 cos(−2x + y) = −3,268

Quy tắc dây chuyền

dz/dt = 6,536·(−3) + (−3,268)·(−4) = −6,536

Đáp số

dz/dt = −6,536

6.Giải tích nhiều biến

Đáp số: I = 1,405

Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có f_x = f_y = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 và f_xx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và f_xx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).

Dạng cực

I = ∫₀^π ∫₀^1,5 e^−r²·r dr dθ

Lấy tích phân

∫ e^−r²·r dr = [−e^−r²/2]

I = 1,405

Đáp số

I = 1,405

7.Phương trình vi phân

Đáp số: k = 0,0982 min⁻¹

Phương trình vi phân cấp một: dy/dt = k·y có nghiệm y = y₀·e^kt (tăng trưởng khi k > 0, suy giảm khi k < 0); chu kỳ bán rã T cho k = ln 2/T. Định luật làm nguội của Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), cho T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Phương trình tuyến tính y′ + p(x)·y = q(x) được giải bằng thừa số tích phân μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, nên μy = ∫μq dx + C.

Tỉ số các hiệu nhiệt độ

e^−29k = 4/69

Giải tìm k

k = ln(69/4)/29 = 0,0982 min⁻¹

Đáp số

k = 0,0982 min⁻¹

8.Phương trình vi phân

Đáp số: y(1) = −0,6984

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Các nghiệm phức

r = −2 ± 4j

Các hằng số

A = 5, B = 2·5/4 = 2,5

Tính giá trị

y(1) = e⁻²(5·cos 4 + 2,5·sin 4) = −0,6984

Đáp số

y(1) = −0,6984

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2