Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất danh nghĩa 5% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 2 năm.
PV = €20 0005% / 4n = 2
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €250 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €250 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €9 000, €9 000, €14 000, €7 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €11 000, €10 500, €8 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 10 500CF3 = 8 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đáo hạn là 2,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 2,5%n = 4
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu còn 14 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 9%) được bán với giá €1 127. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 6 năm với giá mua lại €1 090. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 127giá mua lại = €1 090mua lại sau 6 năm
YTC = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €5 000 000 và nợ trị giá €1 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €29,50; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €59 000 000. Công ty vừa trả cổ tức €3,00 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 3% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €35 400 000 và chi phí trước thuế 4%. Thuế suất là 25,8%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 4 000 000P0 = €29,50vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €59 000 000D0 = €3,00g = 3%D = €35 400 000rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 39, 36, 25, 59, 16.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 56.
μ = 60σ = 5x = 56
z =
11.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 5 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
5 / 7
P =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 244,25 và 260 g? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 260
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 70% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm70%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 10 phần tử có trung bình 98 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 10x̄ = 98s = 495%t(9) = 2,262
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 38. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 38E = 2,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 8 học sinh, điểm trung bình 68,5, độ lệch chuẩn 9,5. Nhóm 2: 9 học sinh, điểm trung bình 56,5, độ lệch chuẩn 7. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 8x̄₁ = 68,5s₁ = 9,5n₂ = 9x̄₂ = 56,5s₂ = 7
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 25 phép đo có trung bình 198,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 198,6σ = 4n = 2595%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 15Σy = 112Σx² = 55Σy² = 2552Σxy = 319
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 16,5.
n = 5x = 16,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 22090 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61
Đáp số
A = €1 136,61
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 3800 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 9 000/1,06 = 8 490,57
CF2/(1 + 0,06)2 = 9 000/1,124 = 8 009,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 14 000/1,191 = 11 754,67
CF4/(1 + 0,06)4 = 7 000/1,262 = 5 544,66
Cộng lại
NPV = €3 799,86
Đáp số
NPV = €3 799,86
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 23,63 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(20%) = 1 087,96
NPV(25%) = −384,00
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €35,00, i = 0,0125, N = 8
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€35,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €264,88
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,9054 = €905,40
Giá
P = €1 170,28
Đáp số
P = €1 170,28
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTC = 7,533 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
1127 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Giải bằng số
y = 7%: €1 155,30
y = 8%: €1 102,94
YTC = 7,533%
Đáp số
YTC = 7,533%
Lợi suất đến ngày đáo hạn là 7,504%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,909 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (56 − 60)/5 = −0,8
Đáp số
z = −0,8
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,1515
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515
Đáp số
P = 0,1515
12.Xác suất
Đáp số: σY = 2,059
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,2, Var(X) = 1,06, σX = 1,03
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·1,03 = 2,059
Đáp số
σY = 2,059
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·1,2 − 3 = −5,4.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8522
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (260 − 250)/5 = 2
Diện tích ở giữa
P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522
Đáp số
P = 0,8522
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 70,2 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,7
z từ bảng
z ≈ 0,52
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 điểm
Đáp số
x = 70,2 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 2,861
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Sai số biên
E = 2,262·4/√10 = 2,861
Đáp số
E = 2,861
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1534
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·38/2,5)² = 1533
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 1534
Đáp số
n = 1534
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,989
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (7·9,5² + 8·7²)/15 = 68,25
sp = 8,261
Sai số chuẩn
SE = 8,261·√(1/8 + 1/9) = 4,014
Thống kê kiểm định
t = (68,5 − 56,5)/4,014 = 2,989
Đáp số
t = 2,989
Với df = 15, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,131; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 197
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·4/√25 = 1,568
Giới hạn của khoảng
L = 198,6 − 1,568 = 197
Đáp số
L = 197
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,8179
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 319 − 15·112/5 = −17
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2552 − 112²/5 = 43,2
Hệ số tương quan
r = −17/√(10·43,2) = −0,8179
Đáp số
r = −0,8179
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 54,3
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 366/5 = 73,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378
Đường hồi quy
b = 378/90 = 4,2
a = 73,2 − 4,2·21 = −15
ŷ = −15 + 4,2·x
Dự đoán
ŷ = −15 + 4,2·16,5 = 54,3
Đáp số
ŷ = 54,3
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.