Bạn đầu tư €5 000 với lãi suất danh nghĩa 6% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 9 năm.
PV = €5 0006% / 4n = 9
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €250 vào cuối mỗi tháng trong 22 năm. Tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €2502,4% / 12N = 264
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €400 000 hôm nay. Nó tạo ra €34 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €400 000CF1 = €34 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €7 500, €11 500, €9 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 11 500CF3 = 9 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 9 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 065 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 7%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 9P = €1 065YTM = 7%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €845. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 10P = €845
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 1,4 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 13,8%. Lãi suất phi rủi ro là 4%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 1,4re = 13,8%rf = 4%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €16,50; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €24 800 000. Công ty vừa trả cổ tức €1,40 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 5% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €41 300 000 và chi phí trước thuế 5%. Thuế suất là 20%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 5 000 000P0 = €16,50vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €24 800 000D0 = €1,40g = 5%D = €41 300 000rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 29, 46, 18, 19, 15, 44.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 80 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 20x = 80
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,2, 0,15, 0,35
σ =
12.Xác suấtKhó
12 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 12p = 0,1
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 45 và 70 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 70
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 95% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 95).
μ = 65σ = 10P = 95%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 21 phần tử có trung bình 27 và độ lệch chuẩn s = 11,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 21x̄ = 27s = 11,599%t(20) = 2,845
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?
σ = 19E = 499%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 47,24 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,24s = 8n = 81
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 25 phép đo có trung bình 78. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 78σ = 15n = 2590%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 30Σy = 67Σx² = 220Σy² = 1043Σxy = 476
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 38?
n = 5ŷ = 38
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 8546 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 34 000/(0,09 − 0,02) = 485 714,29
NPV
NPV = 485 714,29 − 400 000 = €85 714,29
Đáp số
NPV = €85 714,29
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 18,28 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(15%) = 1 135,04
NPV(20%) = −555,56
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,07)−9 = €543,93
Trái tức
C = (1065 − 543,93)/6,515 = €79,98
Lãi suất coupon
c = 79,98/1000 = 7,998%
Đáp số
c = 7,998%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 5,008 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€845 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Giải bằng số
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,008%
Đáp số
YTM = 5,008%
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 11 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (13,8% − 4%)/1,4 = 7%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 4% + 7% = 11%
Đáp số
rm = 11%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,6 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,396
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766
Cộng lại
P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659
Đáp số
P = 0,659
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6687
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687
Đáp số
P = 0,6687
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 81,45 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Quay lại x
x = 65 + 1,645·10 = 81,45 điểm
Đáp số
x = 81,45 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 19,86
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Sai số biên
E = 2,845·11,5/√21 = 7,14
Khoảng
27 ± 7,14 → [19,86, 34,14]
Đáp số
giới hạn dưới = 19,86
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 150
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·19/4)² = 149,7
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 150
Đáp số
n = 150
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,105
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Thống kê kiểm định
t = (47,24 − 50)/0,8889 = −3,105
Đáp số
t = −3,105
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 73,06
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Giới hạn của khoảng
L = 78 − 4,935 = 73,06
Đáp số
L = 73,06
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,971
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 476 − 30·67/5 = 74
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1043 − 67²/5 = 145,2
Hệ số tương quan
r = 74/√(40·145,2) = 0,971
Đáp số
r = 0,971
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 8,091
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 156/5 = 31,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88
Đường hồi quy
b = 88/40 = 2,2
a = 31,2 − 2,2·5 = 20,2
ŷ = 20,2 + 2,2·x
Giải tìm x
x = (38 − 20,2)/2,2 = 8,091
Đáp số
x = 8,091
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.