Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €1 000 với lãi suất 3% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 10 năm.

PV = €1 000r = 3%t = 10

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €150 vào cuối mỗi tháng trong 17 năm. Tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1506% / 12N = 204

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €60 000 hôm nay, dùng được 4 năm và tốn €1 500 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 8%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.

C₀ = €60 000M = €1 500n = 4r = 8%

EAC = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €18 500, €16 000, €10 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 16 000CF₃ = 10 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 6 năm. Lợi suất đáo hạn là 3,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 3,5%n = 6

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 8% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €875. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 8%n = 10P = €875

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một cổ phiếu có beta 1,5 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 9,75%. Lãi suất phi rủi ro là 3%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng r_m là bao nhiêu?

β = 1,5r_e = 9,75%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €28,00 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 25%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 4% và lợi suất thị trường 8,5%. Tìm WACC.

β = 1,2r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 19, 27, 56, 55, 25.

n = 5

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 600 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €15 với xác suất 0,1 và €100 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €5€15: p = 0,1€100: p = 0,05

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 462 và 582 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 582

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 phần tử có trung bình 100 và độ lệch chuẩn s = 16. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 25x̄ = 100s = 1699%t(24) = 2,797

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 35. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?

σ = 35E = 395%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 68,8 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 68,8s = 10n = 25

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 50 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 110 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 110n₂ = 250

z =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (7, 24) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 1350 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,03·10 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Giá trị tương lai

FV = 1 000·1,35 = €1 349,86

Đáp số

FV = €1 349,86

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 52985 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·17 = 204

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,766 − 1)/0,005 = €52 984,67

Đáp số

FV = €52 984,67

Bạn tự nộp vào €30 600; phần còn lại là tiền lãi.

3.NPV và IRR

Đáp số: EAC = 19615 €

Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.

Hệ số niên kim

(1 − 1,08⁻⁴)/0,08 = 3,312

Giá mua quy đổi theo năm

60 000/3,312 = 18 115,25

EAC

EAC = 18 115,25 + 1 500 = €19 615,25

Đáp số

EAC = €19 615,25

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 40,7 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(40%) = 204,08

NPV(45%) = −1 187,22

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 40 + 5·204,08/(204,08 − (−1 187,22)) = 40,73%

chính xác: NPV(40,7%) = 0 → IRR = 40,7%

Đáp số

IRR = 40,7%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1054 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €22,50, i = 0,0175, N = 12

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€22,50·(1 − 0,8121)/0,0175 = €241,64

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,8121 = €812,06

Giá

P = €1 053,70

Đáp số

P = €1 053,70

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 10,04 %

Phương trình cho lợi suất

€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Giải bằng số

P(10%) = €877,11, P(11%) = €823,32

YTM = 10,04%

Đáp số

YTM = 10,04%

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_m = 7,5 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Phần bù rủi ro thị trường

r_m − r_f = (9,75% − 3%)/1,5 = 4,5%

Tỉ suất sinh lợi thị trường

r_m = 3% + 4,5% = 7,5%

Đáp số

r_m = 7,5%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,06 %

Giá trị thị trường

E = 4 000 000·€28,00 = €112 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 4% + 1,2·4,5% = 9,4%

Trọng số

V = €122 000 000, E/V = 0,918, D/V = 0,08197

WACC

WACC = 0,918·9,4% + 0,08197·7%·(1 − 0,25) = 9,06%

Đáp số

WACC = 9,06%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,69

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 182/5 = 36,4

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−17,4)² + (−9,4)² + 19,6² + 18,6² + (−11,4)² = 1251

Độ lệch chuẩn

s = √(1251/4) = 17,69

Đáp số

s = 17,69

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

11.Xác suất

Đáp số: σ = 0,8047

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Phương sai

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Đáp số

σ = 0,8047

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = 1,5 €

Các kết quả ròng

G: 10 (p = 0,1), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,85)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 10·0,1 + 95·0,05 − 5·0,85 = 1,5 €

Đáp số

E(G) = 1,5 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8088

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Diện tích ở giữa

P = Φ(2,05) − Φ(−0,95) = 0,9798 − 0,1711 = 0,8088

Đáp số

P = 0,8088

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 109

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Sai số biên

E = 2,797·16/√25 = 8,95

Khoảng

100 ± 8,95 → [91,05, 109]

Đáp số

giới hạn trên = 109

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 523

Giải tìm n

n = (1,96·35/3)² = 522,9

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 523

Đáp số

n = 523

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,1

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Thống kê kiểm định

t = (68,8 − 75)/2 = −3,1

Đáp số

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 1,018

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 50/100 = 0,5

p̂₂ = 110/250 = 0,44

p̂ = 160/350 = 0,4571

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,4571·0,5429·(1/100 + 1/250)) = 0,05894

Thống kê kiểm định

z = (0,5 − 0,44)/0,05894 = 1,018

Đáp số

z = 1,018

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9543

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 413/6 = 68,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 798,8

Hệ số xác định

r² = 115,5²/(17,5·798,8) = 0,9543

Đáp số

r² = 0,9543

Khoảng 95,43% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,333

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 118/6 = 19,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Đường hồi quy

b = 190/70 = 2,714

a = 19,67 − 2,714·7 = 0,6667

ŷ = 0,6667 + 2,714·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 0,6667 + 2,714·7 = 19,67

Phần dư

e = 24 − 19,67 = 4,333

Đáp số

e = 4,333

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income