Một thẻ tín dụng tính lãi suất danh nghĩa 22% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm lãi suất thực hằng năm EAR theo phần trăm.
r = 22%m = 12
EAR = %
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay thế chấp €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 10 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.
P = €200 0003,6% / 12N = 240k = 120
B = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €100 000 hôm nay. Nó tạo ra €10 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €50 000 và mang lại €27 000, €23 500, €25 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −50 000CF1 = 27 000CF2 = 23 500CF3 = 25 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 12 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 282 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 4%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 12P = €1 282YTM = 4%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 11 năm. Nó được bán với giá €586. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 11P = €586
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €5 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €1 500 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 7% và chi phí nợ trước thuế 6%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC.
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €60,00 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 8,5%. Tìm WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 8,5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 52, 10, 33, 51, 52, 40.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 162 là bao nhiêu?
μ = 170σ = 10x = 162
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,3
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 201 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 201 mm
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 20 phần tử có trung bình 95,5 và độ lệch chuẩn s = 9. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 20x̄ = 95,5s = 990%t(19) = 1,729
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 11. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?
σ = 11E = 399%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 496,1 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,1s = 5n = 16
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 32 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 60 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 60n₂ = 120
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 22) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 22)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: EAR = 24,36 %
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất mỗi kỳ
r/m = 0,22/12 = 0,01833
Ghép lãi trong một năm
EAR = (1 + 0,01833)12 − 1 = 1,244 − 1 = 24,36%
Đáp số
EAR = 24,36%
EAR luôn cao hơn lãi suất danh nghĩa khi lãi được ghép nhiều hơn một lần mỗi năm.
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: B = 117782 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.
N − k = 240 − 120 = 120
B = 1170·(1 − (1 + 0,003)−120)/0,003 = €117 781,99
Đáp số
B = €117 781,99
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 25000 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 10 000/(0,1 − 0,02) = 125 000,00
NPV
NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00
Đáp số
NPV = €25 000,00
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 24,23 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(20%) = 3 287,04
NPV(25%) = −560,00
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,04)−12 = €624,60
Trái tức
C = (1282 − 624,60)/9,385 = €70,05
Lãi suất coupon
c = 70,05/1000 = 7,005%
Đáp số
c = 7,005%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 9,009 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €15,00, N = 22
Giải bằng số
i = 4,505% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·4,505% = 9,009%
Đáp số
YTM = 9,009%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,353 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,8
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Đáp số
P = 0,2119
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 6,19
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,2 + 6·0,3 = 2,9
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,2 + 36·0,3 = 14,6
Phương sai
Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19
Đáp số
Var(X) = 6,19
12.Xác suất
Đáp số: σY = 3,116
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 3,15, Var(X) = 2,428, σX = 1,558
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·1,558 = 3,116
Đáp số
σY = 3,116
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·3,15 − 3 = −9,3.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (201 − 200)/0,5 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 27,95 min
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Quay lại x
x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min
Đáp số
x = 27,95 min
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 3,48
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Sai số biên
E = 1,729·9/√20 = 3,48
Đáp số
E = 3,48
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 90
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·11/3)² = 89,21
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 90
Đáp số
n = 90
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,12
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Thống kê kiểm định
t = (496,1 − 500)/1,25 = −3,12
Đáp số
t = −3,12
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −1,39
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 60/120 = 0,5
p̂ = 92/200 = 0,46
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,46·0,54·(1/80 + 1/120)) = 0,07194
Thống kê kiểm định
z = (0,4 − 0,5)/0,07194 = −1,39
Đáp số
z = −1,39
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9847
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 148/6 = 24,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252
Syy = Σ(y − ȳ)² = 921,3
Hệ số xác định
r² = 252²/(70·921,3) = 0,9847
Đáp số
r² = 0,9847
Khoảng 98,47% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 1,762
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Đường hồi quy
b = −25/17,5 = −1,429
a = 21,67 − (−1,429)·3,5 = 26,67
ŷ = 26,67 − 1,429·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 26,67 + (−1,429)·4,5 = 20,24
Phần dư
e = 22 − 20,24 = 1,762
Đáp số
e = 1,762
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.