Bạn đầu tư €2 000 với lãi suất danh nghĩa 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 3 năm.
PV = €2 0003,6% / 12n = 3
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €500 vào cuối mỗi tháng trong 26 năm. Tài khoản trả lãi 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €5003% / 12N = 312
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €50 000 hôm nay, dùng được 9 năm và tốn €3 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 10%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.
C0 = €50 000M = €3 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €10 000 và mang về €3 500, €5 000, €6 000, €4 500 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 12%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.
Bạn mua một trái phiếu còn 8 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 5%n = 8y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu còn 16 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 8%) được bán với giá €1 094. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 5 năm với giá mua lại €1 080. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 094giá mua lại = €1 080mua lại sau 5 năm
YTC = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €12 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €500 000 và nợ trị giá €3 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 6,5% và chi phí nợ trước thuế 6%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €31,00 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 25%. Beta của cổ phiếu là 1,8, lãi suất phi rủi ro 3,5% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.
β = 1,8rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 43, 43, 36, 45, 48, 34.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 90 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 10x = 90
P =
11.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 8 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
6 / 8
P =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 1082 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1082 kg
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 12 phần tử có trung bình 52 và độ lệch chuẩn s = 16,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 12x̄ = 52s = 16,599%t(11) = 3,106
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 25 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 9,7 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 24, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 12,401 và 2,5% nằm trên 39,364.
n = 25s = 9,7 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 201,4 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,4s = 4n = 36
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 84 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 118 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 118n₂ = 150
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 2228 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Bạn tự nộp vào €156 000; phần còn lại là tiền lãi.
3.NPV và IRR
Đáp số: EAC = 11682 €
Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.
Hệ số niên kim
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Giá mua quy đổi theo năm
50 000/5,759 = 8 682,03
EAC
EAC = 8 682,03 + 3 000 = €11 682,03
Đáp số
EAC = €11 682,03
4.NPV và IRR
Đáp số: MIRR = 22,35 %
IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào
3 500·1,123 = 4 917,25
5 000·1,122 = 6 272,00
6 000·1,121 = 6 720,00
4 500·1,120 = 4 500,00
TV = 22 409,25
MIRR
MIRR = (22 409,25/10 000)1/4 − 1 = 22,35%
Đáp số
MIRR = 22,35%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: HPR = 9,575 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
1094 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Giải bằng số
y = 7%: €1 098,04
y = 8%: €1 054,45
YTC = 7,09%
Đáp số
YTC = 7,09%
Lợi suất đến ngày đáo hạn là 7,005%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 11,92 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Đáp số
P = 0,9772
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,1648
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648
Đáp số
P = 0,1648
12.Xác suất
Đáp số: σY = 5,54
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 23,5, Var(X) = 122,8, σX = 11,08
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |0,5|·11,08 = 5,54
Đáp số
σY = 5,54
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·23,5 + 1 = 12,75.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,06681
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Chuẩn hóa
z = (1082 − 1020)/41,57 = 1,5
Xác suất
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Đáp số
P = 0,06681
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 473 h
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Quay lại x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Đáp số
x = 473,02 h
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 14,79
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Sai số biên
E = 3,106·16,5/√12 = 14,79
Đáp số
E = 14,79
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 13,49 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 24·9,7² = 2258
Các giới hạn cho σ²
2258/39,364 = 57,37
2258/12,401 = 182,1
Giới hạn cho σ
σ = √182,1 = 13,49 µm
Đáp số
σ = 13,49 µm
Khoảng 95% cho σ: [7,574, 13,49] µm.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,1
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Thống kê kiểm định
t = (201,4 − 200)/0,6667 = 2,1
Đáp số
t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −1,63
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 84/120 = 0,7
p̂₂ = 118/150 = 0,7867
p̂ = 202/270 = 0,7481
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,7481·0,2519·(1/120 + 1/150)) = 0,05316
Thống kê kiểm định
z = (0,7 − 0,7867)/0,05316 = −1,63
Đáp số
z = −1,63
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9022
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 425/5 = 85
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178
Syy = Σ(y − ȳ)² = 878
Hệ số xác định
r² = 178²/(40·878) = 0,9022
Đáp số
r² = 0,9022
Khoảng 90,22% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 9,059
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 93/6 = 15,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 153
Đường hồi quy
b = 153/70 = 2,186
a = 15,5 − 2,186·7 = 0,2
ŷ = 0,2 + 2,186·x
Giải tìm x
x = (20 − 0,2)/2,186 = 9,059
Đáp số
x = 9,059
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.