Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất 4% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 3 năm.

PV = €20 000r = 4%t = 3

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €100 vào cuối mỗi tháng trong 28 năm. Tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1006% / 12N = 336

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €30 000 hôm nay, dùng được 4 năm và tốn €4 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 10%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.

C₀ = €30 000M = €4 000n = 4r = 10%

EAC = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €40 000 và mang lại €22 000, €22 500, €28 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 000CF₂ = 22 500CF₃ = 28 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đáo hạn là 3,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 3,5%n = 4

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 6% đáo hạn sau 5 năm và được bán với giá €960. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 6%n = 5P = €960

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €1 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 0,6. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,25. Thuế suất là 30%, lãi suất phi rủi ro là 3,5% và phần bù rủi ro thị trường là 4,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e ở cơ cấu vốn mới.

β_U = 0,6D/E = 0,25T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 13, 28, 48, 46, 51.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 74 là bao nhiêu?

μ = 50σ = 12x = 74

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €6 với xác suất 0,2 và €20 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€6: p = 0,2€20: p = 0,02

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,1762. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,1762

z =

14.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 43 và độ lệch chuẩn s = 1. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 43s = 199%t(7) = 3,499

giới hạn dưới =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 40. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?

σ = 40E = 2,590%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 192,3 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 192,3s = 10n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 81 phép đo có trung bình 77. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 77σ = 12n = 8195%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 22550 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,04·3 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Giá trị tương lai

FV = 20 000·1,127 = €22 549,94

Đáp số

FV = €22 549,94

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 86863 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·28 = 336

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(5,343 − 1)/0,005 = €86 862,85

Đáp số

FV = €86 862,85

Bạn tự nộp vào €33 600; phần còn lại là tiền lãi.

3.NPV và IRR

Đáp số: EAC = 13464 €

Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.

Hệ số niên kim

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

Giá mua quy đổi theo năm

30 000/3,17 = 9 464,12

EAC

EAC = 9 464,12 + 4 000 = €13 464,12

Đáp số

EAC = €13 464,12

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 35,04 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(35%) = 22,35

NPV(40%) = −2 602,04

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 35 + 5·22,35/(22,35 − (−2 602,04)) = 35,04%

chính xác: NPV(35,04%) = 0 → IRR = 35,04%

Đáp số

IRR = 35,04%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1130 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €35,00, i = 0,0175, N = 8

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€35,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €259,18

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,8704 = €870,41

Giá

P = €1 129,59

Đáp số

P = €1 129,59

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 6,975 %

Phương trình cho lợi suất

€960 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Giải bằng số

P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €959,00

YTM = 6,975%

Đáp số

YTM = 6,975%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 8,063 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·10% + 0,25·3%·(1 − 0,25) = 8,063%

Đáp số

WACC = 8,063%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 6,672 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Beta có đòn bẩy

β_L = 0,6·(1 + 0,7·0,25) = 0,705

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,705·4,5% = 6,672%

Đáp số

r_e = 6,672%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 214/6 = 35,67

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−7,667)² + (−22,67)² + (−7,667)² + 12,33² + 10,33² + 15,33² = 1125

Độ lệch chuẩn

s = √(1125/5) = 15

Đáp số

s = 15

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,02275

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 0,79

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,9

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,4

Phương sai

Var(X) = 4,4 − 1,9² = 0,79

Đáp số

Var(X) = 0,79

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,4 €

Các kết quả ròng

G: 4 (p = 0,2), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 4·0,2 + 18·0,02 − 2·0,78 = −0,4 €

Đáp số

E(G) = −0,4 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,93

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,1762 = 0,8238

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8238 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,93

Đáp số

z = 0,93

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 41,76

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Sai số biên

E = 3,499·1/√8 = 1,237

Khoảng

43 ± 1,237 → [41,76, 44,24]

Đáp số

giới hạn dưới = 41,76

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 693

Giải tìm n

n = (1,645·40/2,5)² = 692,7

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 693

Đáp số

n = 693

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,08

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Thống kê kiểm định

t = (192,3 − 200)/2,5 = −3,08

Đáp số

t = −3,08

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 74,39

Sai số biên

E = 1,96·12/√81 = 2,613

Giới hạn của khoảng

L = 77 − 2,613 = 74,39

Đáp số

L = 74,39

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,8929

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 25,2

Hệ số xác định

r² = −15²/(10·25,2) = 0,8929

Đáp số

r² = 0,8929

Khoảng 89,29% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 86,45

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 346/5 = 69,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

Đường hồi quy

b = 230/40 = 5,75

a = 69,2 − 5,75·5 = 40,45

ŷ = 40,45 + 5,75·x

Dự đoán

ŷ = 40,45 + 5,75·8 = 86,45

Đáp số

ŷ = 86,45

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income