Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €6 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 3% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 7% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €6 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €10 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 6 năm với lãi suất 4,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €10 0004,2% / 12N = 72
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €500 000 hôm nay. Nó tạo ra €18 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 4% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €500 000CF1 = €18 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Dự án A tốn €40 000 và mang về €23 000, €14 500, €9 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €45 000 và mang về €12 500, €17 500, €24 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% và đáo hạn sau 8 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 2,5% thành 4%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 2%n = 8y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu còn 18 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 8%) được bán với giá €1 217. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 5 năm với giá mua lại €1 080. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 217giá mua lại = €1 080mua lại sau 5 năm
YTC = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 0,6 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 5,7%. Lãi suất phi rủi ro là 1,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 0,6re = 5,7%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €10 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 14%. Nợ của công ty gồm 8 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%, còn 4 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €965 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 25%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 57,5 và 80,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 57,5x2 = 80,5
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 20% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 100 điểmσ = 15 điểm20%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 101,5 và độ lệch chuẩn s = 12. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 101,5s = 1290%t(5) = 2,015
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 24. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?
σ = 24E = 199%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 250; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 10. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 quan sát có trung bình 247,56. Kiểm định H₀: μ = 250 với H₁: μ < 250. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 250σ = 10n = 25x̄ = 247,56H₁: μ < μ₀
p =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 10E = 190%
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 48?
n = 6ŷ = 48
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 150000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,0035, N = 72
A = 10 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−72) = €157,36
Tổng tiền lãi
I = N·A − P = 72·157,4 − 10 000 = €1 330,26
Đáp số
I = €1 330,26
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −50000 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 18 000/(0,08 − 0,04) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Đáp số
NPV = −€50 000,00
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 7,173 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 17 500 − 14 500 = 3 000
ΔCF3 = 24 500 − 9 500 = 15 000
IRR của hiệu
NPVΔ(7%) = 51,70
NPVΔ(8%) = −242,72
r* = 7,173%
Đáp số
r* = 7,173%
Kiểm tra: tại 7,173% cả hai NPV đều là €1 802,22.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: ΔP = −98,8 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
1217 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Giải bằng số
y = 4%: €1 243,83
y = 5%: €1 192,57
YTC = 4,516%
Đáp số
YTC = 4,516%
Lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,996%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 8,5 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (5,7% − 1,5%)/0,6 = 7%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 1,5% + 7% = 8,5%
Đáp số
rm = 8,5%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,53 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,25
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Đáp số
P = 0,1056
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,4213
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Đáp số
P = 0,4213
12.Xác suất
Đáp số: σY = 3,851
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,45, Var(X) = 1,647, σX = 1,284
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·1,284 = 3,851
Đáp số
σY = 3,851
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·2,45 + 20 = 27,35.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7128
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,55) − Φ(−0,75) = 0,9394 − 0,2266 = 0,7128
Đáp số
P = 0,7128
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 87,4 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,2
z từ bảng
z ≈ −0,84
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 100 − 0,84·15 = 87,4 điểm
Đáp số
x = 87,4 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 111,4
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Sai số biên
E = 2,015·12/√6 = 9,871
Khoảng
101,5 ± 9,871 → [91,63, 111,4]
Đáp số
giới hạn trên = 111,4
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 3823
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·24/1)² = 3822
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 3823
Đáp số
n = 3823
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,1112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (247,56 − 250)/2 = −1,22
Diện tích đuôi
Φ(1,22) = 0,8888
1 − Φ(1,22) = 0,1112
Giá trị p
p = 0,1112
Đáp số
p = 0,1112
p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 271
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (1,645·10/1)² = 270,6
Làm tròn lên
n = 271
Đáp số
n = 271
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9985
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1743 − 25·297/5 = 258
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 19311 − 297²/5 = 1669
Hệ số tương quan
r = 258/√(40·1669) = 0,9985
Đáp số
r = 0,9985
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 1,517
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 356/6 = 59,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Đường hồi quy
b = 100/17,5 = 5,714
a = 59,33 − 5,714·3,5 = 39,33
ŷ = 39,33 + 5,714·x
Giải tìm x
x = (48 − 39,33)/5,714 = 1,517
Đáp số
x = 1,517
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.