Bạn đầu tư €3 000 với lãi suất danh nghĩa 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.
PV = €3 0004,8% / 4n = 8
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 6 năm. Lãi suất là 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €25 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €20 000 hôm nay, dùng được 4 năm và tốn €2 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 10%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.
C0 = €20 000M = €2 000n = 4r = 10%
EAC = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €13 000, €13 000, €8 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 13 000CF3 = 8 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 12 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 8%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 8%n = 12y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 10 năm. Nó được bán với giá €702. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 10P = €702
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 2 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 11,5%. Lãi suất phi rủi ro là 3,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 2re = 11,5%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 0,9. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,6. Thuế suất là 21%, lãi suất phi rủi ro là 2,5% và phần bù rủi ro thị trường là 6,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re ở cơ cấu vốn mới.
βU = 0,9D/E = 0,6T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 28, 51, 36, 52, 46, 50.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 55 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 15x = 55
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 10p = 0,6k = 4
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 30,8 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 20 phần tử có trung bình 75 và độ lệch chuẩn s = 11,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 20x̄ = 75s = 11,590%t(19) = 1,729
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 27. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?
σ = 27E = 1,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 250; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 15. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 quan sát có trung bình 246,94. Kiểm định H₀: μ = 250 với H₁: μ < 250. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 250σ = 15n = 25x̄ = 246,94H₁: μ < μ₀
p =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 57,5. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 57,5σ = 20n = 1699%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 44?
n = 5ŷ = 44
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 4394 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 25 000·0,002/(1 − 0,866) = €373,17
Đáp số
A = €373,17
3.NPV và IRR
Đáp số: EAC = 8309 €
Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.
Hệ số niên kim
(1 − 1,1−4)/0,1 = 3,17
Giá mua quy đổi theo năm
20 000/3,17 = 6 309,42
EAC
EAC = 6 309,42 + 2 000 = €8 309,42
Đáp số
EAC = €8 309,42
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 35,06 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(35%) = 14,23
NPV(40%) = −1 166,18
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 35 + 5·14,23/(14,23 − (−1 166,18)) = 35,06%
chính xác: NPV(35,06%) = 0 → IRR = 35,06%
Đáp số
IRR = 35,06%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: HPR = 11,32 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €10,00, N = 20
Giải bằng số
i = 3,004% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·3,004% = 6,007%
Đáp số
YTM = 6,007%
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 7,5 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (11,5% − 3,5%)/2 = 4%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 3,5% + 4% = 7,5%
Đáp số
rm = 7,5%
8.CAPM và WACC
Đáp số: re = 11,12 %
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Beta có đòn bẩy
βL = 0,9·(1 + 0,79·0,6) = 1,327
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 2,5% + 1,327·6,5% = 11,12%
Đáp số
re = 11,12%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 12,65
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,028
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,35
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,85
Phương sai
Var(X) = 2,85 − 1,35² = 1,028
Đáp số
Var(X) = 1,028
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,1115
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Đáp số
P = 0,6844
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9616
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Đáp số
P = 0,9616
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 70,55
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Sai số biên
E = 1,729·11,5/√20 = 4,446
Khoảng
75 ± 4,446 → [70,55, 79,45]
Đáp số
giới hạn dưới = 70,55
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 2150
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·27/1,5)² = 2150
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 2150
Đáp số
n = 2150
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,1539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (246,94 − 250)/3 = −1,02
Diện tích đuôi
Φ(1,02) = 0,8461
1 − Φ(1,02) = 0,1539
Giá trị p
p = 0,1539
Đáp số
p = 0,1539
p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 44,62
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·20/√16 = 12,88
Giới hạn của khoảng
L = 57,5 − 12,88 = 44,62
Đáp số
L = 44,62
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9784
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1928 − 25·342/5 = 218
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 24634 − 342²/5 = 1241
Hệ số tương quan
r = 218/√(40·1241) = 0,9784
Đáp số
r = 0,9784
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 1,952
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 332/5 = 66,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Đường hồi quy
b = 294/40 = 7,35
a = 66,4 − 7,35·5 = 29,65
ŷ = 29,65 + 7,35·x
Giải tìm x
x = (44 − 29,65)/7,35 = 1,952
Đáp số
x = 1,952
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.