Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €3 000 với lãi suất danh nghĩa 3% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 4 năm.

PV = €3 0003% / 4n = 4

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 4,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €200 0004,2% / 12N = 360

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €500 000 hôm nay. Nó tạo ra €36 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 4% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €36 000g = 4%r = 10%

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €10 000, €15 000, €9 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000CF₃ = 9 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 10 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €936 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.

F = €1 000n = 10P = €936YTM = 9%

c = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 7 năm. Nó được bán với giá €879. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 7P = €879

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €5 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €1 500 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 7,5% và chi phí nợ trước thuế 3%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €20,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 8,5%. Tìm WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 17, 51, 31, 13, 43, 45.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 60,4 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 8x = 60,4

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,35, 0,15, 0,25

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35Y = 3X + 10

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,5407. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,5407

z =

14.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 99% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 4,7. Sai số biên E₂ của một khoảng 90% từ cùng dữ liệu là bao nhiêu?

99%n₁ = 50E₁ = 4,790%

E₂ =

16.Khoảng tin cậyKhó

Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,01?

p = 0,5E = 0,0195%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 110,5 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 110,5s = 20n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 36 phép đo có trung bình 72,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 72,4σ = 12n = 3699%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 25Σy = 318Σx² = 165Σy² = 21356Σxy = 1798

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 40?

n = 6ŷ = 40

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 3381 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·4 = 16

Giá trị tương lai

FV = 3 000·(1 + 0,0075)¹⁶ = 3 000·1,127 = €3 380,98

Đáp số

FV = €3 380,98

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 978 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 200 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €978,03

Đáp số

A = €978,03

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 100000 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 36 000/(0,1 − 0,04) = 600 000,00

NPV

NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00

Đáp số

NPV = €100 000,00

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 17,31 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(15%) = 955,45

NPV(20%) = −1 041,67

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 15 + 5·955,45/(955,45 − (−1 041,67)) = 17,39%

chính xác: NPV(17,31%) = 0 → IRR = 17,31%

Đáp số

IRR = 17,31%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: c = 8,003 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá trị hiện tại của mệnh giá

1000·(1 + 0,09)⁻¹⁰ = €422,41

Trái tức

C = (936 − 422,41)/6,418 = €80,03

Lãi suất coupon

c = 80,03/1000 = 8,003%

Đáp số

c = 8,003%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 3,999 %

Mỗi kỳ

C = €10,00, N = 14

Giải bằng số

i = 1,999% mỗi nửa năm

YTM

YTM = 2·1,999% = 3,999%

Đáp số

YTM = 3,999%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,735 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = 5 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €8 500 000

E/V = 0,5882, P_s/V = 0,1765, D/V = 0,2353

WACC

WACC = 0,5882·10% + 0,1765·7,5% + 0,2353·3%·(1 − 0,25) = 7,735%

Đáp số

WACC = 7,735%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 8,635 %

Giá trị thị trường

E = 1 000 000·€20,50 = €20 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·6,5% = 9,8%

Trọng số

V = €25 600 000, E/V = 0,8008, D/V = 0,1992

WACC

WACC = 0,8008·9,8% + 0,1992·5%·(1 − 0,21) = 8,635%

Đáp số

WACC = 8,635%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,67

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 200/6 = 33,33

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−16,33)² + 17,67² + (−2,333)² + (−20,33)² + 9,667² + 11,67² = 1227

Độ lệch chuẩn

s = √(1227/5) = 15,67

Đáp số

s = 15,67

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,96

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,2 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,2

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,8

Phương sai

Var(X) = 6,8 − 2,2² = 1,96

Đáp số

Var(X) = 1,96

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 2,683

Độ phân tán của X

μ = 3, Var(X) = 0,8, σ_X = 0,8944

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |3|·0,8944 = 2,683

Đáp số

σ_Y = 2,683

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·3 + 10 = 19.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,74

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,5407)/2 = 0,7704

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,7704 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,74

Đáp số

z = 0,74

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 3,001

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/50) = 0,6386

Sai số biên mới

E₂ = 4,7·0,6386 = 3,001

Đáp số

E₂ = 3,001

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Giải tìm n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

Làm tròn lên

n = 9604

Đáp số

n = 9604

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,1

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Thống kê kiểm định

t = (110,5 − 100)/5 = 2,1

Đáp số

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 67,25

Sai số biên

E = 2,576·12/√36 = 5,152

Giới hạn của khoảng

L = 72,4 − 5,152 = 67,25

Đáp số

L = 67,25

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9778

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1798 − 25·318/5 = 208

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 21356 − 318²/5 = 1131

Hệ số tương quan

r = 208/√(40·1131) = 0,9778

Đáp số

r = 0,9778

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 17,63

Các giá trị trung bình

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 336/6 = 56

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

Đường hồi quy

b = 429/157,5 = 2,724

a = 56 − 2,724·23,5 = −8,01

ŷ = −8,01 + 2,724·x

Giải tìm x

x = (40 − (−8,01))/2,724 = 17,63

Đáp số

x = 17,63

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income