Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €15 000 sau 10 năm. Một tài khoản trả lãi 4% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €15 0004% / 4n = 10

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay thế chấp €300 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 6 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.

P = €300 0004,8% / 12N = 240k = 72

B = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €30 000 hôm nay. Nó tạo ra €5 500 vào cuối mỗi năm trong 6 năm và sau đó có thể bán với giá €3 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €30 000CF = €5 500S = €3 000n = 6r = 8%

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €11 000, €18 000, €11 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 000CF₂ = 18 000CF₃ = 11 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 7 năm. Lợi suất đáo hạn là 3% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 3%n = 7

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4% và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Tìm thời lượng Macaulay D theo năm.

F = €1 000coupon = 4%n = 4YTM = 3,5%

D = năm

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Cổ phiếu của một công ty có beta 1,4 ở tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu hiện tại 0,4. Công ty dự định tăng tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu lên 0,6. Thuế suất là 25%, lãi suất phi rủi ro 3% và phần bù rủi ro thị trường 7%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e sau thay đổi.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,6T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 57, 21, 31, 37, 49, 40.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 66.

μ = 60σ = 10x = 66

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

8 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 8p = 0,5

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 85,75 và 115 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 115

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 7 phần tử có trung bình 93,5 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 7x̄ = 93,5s = 495%t(6) = 2,447

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?

σ = 19E = 2,595%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 190,3 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 190,3s = 15n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 200 với H₁: μ < 200 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 199.1. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 200μ = 199,1σ = 5n = 100α = 0,05

β = %

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 12?

n = 5ŷ = 12

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 10075 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·10 = 40

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,489 = €10 074,80

Đáp số

PV = €10 074,80

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: B = 237824 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,004, N = 240

A = 300 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻²⁴⁰) = €1 946,87

Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại

Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.

N − k = 240 − 72 = 168

B = 1947·(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁶⁸)/0,004 = €237 824,49

Đáp số

B = €237 824,49

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −2684 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của các dòng tiền hằng năm

5 500·4,623 = 25 425,84

Giá trị hiện tại của giá trị thanh lý

3 000/1,587 = 1 890,51

NPV

NPV = −30 000 + 25 425,84 + 1 890,51 = −€2 683,65

Đáp số

NPV = −€2 683,65

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 27,52 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(25%) = 952,00

NPV(30%) = −880,75

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 25 + 5·952,00/(952,00 − (−880,75)) = 27,6%

chính xác: NPV(27,52%) = 0 → IRR = 27,52%

Đáp số

IRR = 27,52%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 937,3 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €10,00, i = 0,015, N = 14

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€10,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €125,43

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,8118 = €811,85

Giá

P = €937,28

Đáp số

P = €937,28

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: D = 3,777 năm

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

t = 1: 40/1,035 = 38,65, t·PV = 38,65

t = 2: 40/1,071 = 37,34, t·PV = 74,68

t = 3: 40/1,109 = 36,08, t·PV = 108,23

t = 4: 1040/1,148 = 906,30, t·PV = 3 625,20

Thời lượng

P = 1 018,37

D = 3 846,76/1 018,37 = 3,777

Đáp số

D = 3,777 năm

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 5,75 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·11% + 0,6·3%·(1 − 0,25) = 5,75%

Đáp số

WACC = 5,75%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 13,93 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Bỏ đòn bẩy của beta

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,4) = 1,077

Áp lại đòn bẩy ở D/E mới

β_L = 1,077·(1 + 0,75·0,6) = 1,562

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3% + 1,562·7% = 13,93%

Đáp số

r_e = 13,93%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,78

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 235/6 = 39,17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 17,83² + (−18,17)² + (−8,167)² + (−2,167)² + 9,833² + 0,8333² = 816,8

Độ lệch chuẩn

s = √(816,8/5) = 12,78

Đáp số

s = 12,78

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 0,6

Chuẩn hóa

z = (66 − 60)/10 = 0,6

Đáp số

z = 0,6

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 135

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,3 + 20·0,15 + 30·0,3 + 40·0,25 = 25

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,15 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 760

Phương sai

Var(X) = 760 − 25² = 135

Đáp số

Var(X) = 135

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,03516

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,5⁸ = 0,003906

P(X = 1) = 8·0,5·0,5⁷ = 0,03125

Cộng lại

P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516

Đáp số

P = 0,03516

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6703

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Diện tích ở giữa

P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703

Đáp số

P = 0,6703

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 43,76 min

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Đáp số

x = 43,76 min

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 97,2

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Sai số biên

E = 2,447·4/√7 = 3,7

Khoảng

93,5 ± 3,7 → [89,8, 97,2]

Đáp số

giới hạn trên = 97,2

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 222

Giải tìm n

n = (1,96·19/2,5)² = 221,9

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 222

Đáp số

n = 222

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,587

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Thống kê kiểm định

t = (190,3 − 200)/3,75 = −2,587

Đáp số

t = −2,587

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 43,84 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 200 − 1,645·0,5 = 199,2

z theo trung bình thật

z = (199,2 − 199,1)/0,5 = 0,155

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 0.155) = 56.16%

β = 100% − 56,16% = 43,84%

Đáp số

β = 43,84%

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9962

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 401/5 = 80,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 852,8

Hệ số tương quan

r = 276/√(90·852,8) = 0,9962

Đáp số

r = 0,9962

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 2,867

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 107/5 = 21,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Đường hồi quy

b = 120/40 = 3

a = 21,4 − 3·6 = 3,4

ŷ = 3,4 + 3·x

Giải tìm x

x = (12 − 3,4)/3 = 2,867

Đáp số

x = 2,867

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income