Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €6 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 8,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €6 000g = 2,5%r = 8,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €150 vào cuối mỗi tháng trong 28 năm. Tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €1502,4% / 12N = 336
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €250 000 hôm nay. Nó tạo ra €22 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 4% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €250 000CF1 = €22 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Dự án A tốn €20 000 và mang về €11 500, €8 000, €4 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €30 000 và mang về €10 000, €11 500, €15 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 6% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €920. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 10P = €920
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,6. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 11%, chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.
D/E = 0,6re = 11%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €29,50; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €17 700 000. Công ty vừa trả cổ tức €1,80 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 3% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €23 600 000 và chi phí trước thuế 3%. Thuế suất là 21%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 1 000 000P0 = €29,50vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €17 700 000D0 = €1,80g = 3%D = €23 600 000rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 39, 44, 50, 57, 53, 24, 38.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 62.
μ = 50σ = 12x = 62
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,15, 0,15
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 10X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 199,5 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 70% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm70%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 10 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −4,9 và độ lệch chuẩn 3. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho hiệu trung bình.
n = 10d̄ = −4,9sd = 390%t(9) = 1,833
giới hạn trên = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 37. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?
σ = 37E = 190%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 60 chi tiết có chiều dài trung bình 77,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 15 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 70,8 mm, độ lệch chuẩn đã biết 13 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5? Độ lệch chuẩn là 4. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 4E = 2,599%
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 20Σy = 287Σx² = 90Σy² = 16527Σxy = 1167
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 90?
n = 6ŷ = 90
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 100000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 22 000/(0,12 − 0,04) = 275 000,00
NPV
NPV = 275 000,00 − 250 000 = €25 000,00
Đáp số
NPV = €25 000,00
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 9,233 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 000 − 11 500 = −1 500
ΔCF2 = 11 500 − 8 000 = 3 500
ΔCF3 = 15 500 − 4 500 = 11 000
IRR của hiệu
NPVΔ(9%) = 63,75
NPVΔ(10%) = −206,61
r* = 9,233%
Đáp số
r* = 9,233%
Kiểm tra: tại 9,233% cả hai NPV đều là €685,46.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 793,7 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €15,00, i = 0,03, N = 18
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€15,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €206,30
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,5874 = €587,39
Giá
P = €793,70
Đáp số
P = €793,70
Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 3,986 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€920 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Giải bằng số
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €918,89
YTM = 3,986%
Đáp số
YTM = 3,986%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,949 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Các tỉ trọng từ D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·7%·(1 − 0,21) = 8,949%
Đáp số
WACC = 8,949%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 6,212 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (62 − 50)/12 = 1
Đáp số
z = 1
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 2,148
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,3, Var(X) = 1,31, σX = 1,145
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |10|·1,145 = 11,45
Đáp số
σY = 11,45
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 10·2,3 + 4 = 27.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 59,8 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,3
z từ bảng
z ≈ −0,52
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 điểm
Đáp số
x = 59,8 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = −3,161 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 9, t = 1,833
Sai số biên
E = 1,833·3/√10 = 1,739
Khoảng
−4,9 ± 1,739 → [−6,639, −3,161]
Đáp số
giới hạn trên = −3,161 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 3705
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·37/1)² = 3705
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 3705
Đáp số
n = 3705
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 2,187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(15²/60 + 13²/30) = √9,383 = 3,063
Thống kê kiểm định
z = (77,5 − 70,8)/3,063 = 2,187
Đáp số
z = 2,187
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 17
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (2,576·4/2,5)² = 16,99
Làm tròn lên
n = 17
Đáp số
n = 17
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,8238
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1167 − 20·287/5 = 19
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 16527 − 287²/5 = 53,2
Hệ số tương quan
r = 19/√(10·53,2) = 0,8238
Đáp số
r = 0,8238
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 7,957
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 461/6 = 76,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 471
Đường hồi quy
b = 471/70 = 6,729
a = 76,83 − 6,729·6 = 36,46
ŷ = 36,46 + 6,729·x
Giải tìm x
x = (90 − 36,46)/6,729 = 7,957
Đáp số
x = 7,957
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.