Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €10 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 3% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 6% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €10 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn gửi €6 000 vào đầu mỗi năm trong 28 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 5% mỗi năm. Cuối năm 28 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.
A = €6 000i = 5%n = 28
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €17 000, €24 000, €17 000, €24 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €5 000, €7 000, €4 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 7 năm. Lợi suất đáo hạn là 2,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 7
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 4% đáo hạn sau 9 năm và được bán với giá €1 120. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 0,8 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 7,5%. Lãi suất phi rủi ro là 3,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 0,8re = 7,5%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giá €11,00 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,1, lãi suất phi rủi ro 3% và lợi suất thị trường 8%. Tìm WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 8%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 12, 48, 19, 15, 49.
n = 5
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 97,5 là bao nhiêu?
μ = 100σ = 5x = 97,5
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,6
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tỉ lệ nào nằm giữa 178,35 và 192,35 cm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 178σ = 7x1 = 178,35x2 = 192,35
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 30% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 111,5 và độ lệch chuẩn s = 17,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 111,5s = 17,599%t(5) = 4,032
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 14. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?
σ = 14E = 495%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 195,6 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 195,6s = 10n = 49
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 200 với H₁: μ > 200 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 203,3. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 200μ = 203,3σ = 15n = 100α = 0,01
1 − β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 333333 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Hệ số niên kim thông thường
((1 + 0,05)28 − 1)/0,05 = 58,4
Niên kim đầu kỳ
Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.
FV = 6 000·58,4·1,05 = €367 936,27
Đáp số
FV = €367 936,27
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −4319 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 17 000/1,06 = 16 037,74
CF2/(1 + 0,06)2 = 24 000/1,124 = 21 359,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 17 000/1,191 = 14 273,53
CF4/(1 + 0,06)4 = 24 000/1,262 = 19 010,25
Cộng lại
NPV = €−4 318,57
Đáp số
NPV = €−4 318,57
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 30,26 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(30%) = 36,41
NPV(35%) = −626,43
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 30 + 5·36,41/(36,41 − (−626,43)) = 30,27%
chính xác: NPV(30,26%) = 0 → IRR = 30,26%
Đáp số
IRR = 30,26%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 1128 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €22,50, i = 0,0125, N = 14
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€22,50·(1 − 0,8404)/0,0125 = €287,34
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8404 = €840,37
Giá
P = €1 127,71
Đáp số
P = €1 127,71
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 2,495 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Giải bằng số
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,495%
Đáp số
YTM = 2,495%
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 8,5 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (7,5% − 3,5%)/0,8 = 5%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 3,5% + 5% = 8,5%
Đáp số
rm = 8,5%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,572 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Đáp số
P = 0,6915
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 0,6475
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Phương sai
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Đáp số
Var(X) = 0,6475
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,08704
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,45 = 0,01024
P(X = 1) = 5·0,6·0,44 = 0,0768
Cộng lại
P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704
Đáp số
P = 0,08704
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,4599
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(2,05) − Φ(0,05) = 0,9798 − 0,5199 = 0,4599
Đáp số
P = 0,4599
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 181,6 cm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,7
z từ bảng
z ≈ 0,52
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Đáp số
x = 181,6 cm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 28,81
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Sai số biên
E = 4,032·17,5/√6 = 28,81
Đáp số
E = 28,81
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 48
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·14/4)² = 47,06
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 48
Đáp số
n = 48
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,08
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Thống kê kiểm định
t = (195,6 − 200)/1,429 = −3,08
Đáp số
t = −3,08
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 44,99 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 200 + 2,326·1,5 = 203,5
z theo trung bình thật
z = (203,5 − 203,3)/1,5 = 0,126
Công suất
lực của kiểm định = P(Z > 0,126) = 44,99%
1 − β = 44,99%
Đáp số
1 − β = 44,99%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9723
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 325/6 = 54,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 380,8
Hệ số xác định
r² = 80,5²/(17,5·380,8) = 0,9723
Đáp số
r² = 0,9723
Khoảng 97,23% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 56,61
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 424/6 = 70,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123
Đường hồi quy
b = 123/17,5 = 7,029
a = 70,67 − 7,029·5,5 = 32,01
ŷ = 32,01 + 7,029·x
Dự đoán
ŷ = 32,01 + 7,029·3,5 = 56,61
Đáp số
ŷ = 56,61
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.