Bạn đầu tư €8 000 với lãi suất danh nghĩa 4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.
PV = €8 0004% / 12n = 8
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €30 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 3 năm với lãi suất 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €30 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €36 000, €19 000, €33 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €3 500, €7 000, €6 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 7 000CF3 = 6 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4% và đáo hạn sau 14 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 5% thành 7%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 4%n = 14y1 = 5%y2 = 7%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 6% đáo hạn sau 3 năm và được bán với giá €975. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €8 000 000 và nợ trị giá €3 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.
Một công ty có 2 500 000 cổ phiếu giá €31,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 0,6, lãi suất phi rủi ro 2,5% và lợi suất thị trường 8,5%. Tìm WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 17, 26, 12, 25, 50, 43, 20.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 54,8 là bao nhiêu?
μ = 50σ = 12x = 54,8
P =
11.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 4 người từ một nhóm 7 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 7k = 4
N =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €3 mỗi lượt. Bạn thắng €12 với xác suất 0,1 và €60 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €3€12: p = 0,1€60: p = 0,01
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 29,3 và 41 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 29,3x2 = 41
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 40% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 13 phần tử có trung bình 31,5 và độ lệch chuẩn s = 7. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 13x̄ = 31,5s = 790%t(12) = 1,782
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 40. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 40E = 2,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 120; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 3. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 quan sát có trung bình 120,61. Kiểm định H₀: μ = 120 với H₁: μ > 120. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 120σ = 3n = 36x̄ = 120,61H₁: μ > μ₀
p =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 64 phép đo có trung bình 76. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 76σ = 10n = 6495%
U =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 27) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 27)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 11011 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,003, N = 36
A = 30 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €880,39
Tổng tiền lãi
I = N·A − P = 36·880,4 − 30 000 = €1 694,09
Đáp số
I = €1 694,09
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 3580 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 36 000/1,06 = 33 962,26
CF2/(1 + 0,06)2 = 19 000/1,124 = 16 909,93
CF3/(1 + 0,06)3 = 33 000/1,191 = 27 707,44
Cộng lại
NPV = €3 579,63
Đáp số
NPV = €3 579,63
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 27,16 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(25%) = 352,00
NPV(30%) = −434,68
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 25 + 5·352,00/(352,00 − (−434,68)) = 27,24%
chính xác: NPV(27,16%) = 0 → IRR = 27,16%
Đáp số
IRR = 27,16%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: ΔP = −163,4 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€975 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Giải bằng số
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €973,76
YTM = 6,952%
Đáp số
YTM = 6,952%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,508 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC
WACC = 0,7273·11% + 0,2727·7%·(1 − 0,21) = 9,508%
Đáp số
WACC = 9,508%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 5,666 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 0,4
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Đáp số
P = 0,6554
11.Xác suất
Đáp số: N = 35
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35
Đáp số
N = 35
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = −1,2 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 9 (p = 0,1), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 9·0,1 + 57·0,01 − 3·0,89 = −1,2 €
Đáp số
E(G) = −1,2 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6068
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45
z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,5) − Φ(−0,45) = 0,9332 − 0,3264 = 0,6068
Đáp số
P = 0,6068
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 490 h
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,4
z từ bảng
z ≈ −0,25
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Đáp số
x = 490 h
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 3,46
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Sai số biên
E = 1,782·7/√13 = 3,46
Đáp số
E = 3,46
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1699
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·40/2,5)² = 1699
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 1699
Đáp số
n = 1699
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,1112
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (120,61 − 120)/0,5 = 1,22
Diện tích đuôi
Φ(1,22) = 0,8888
1 − Φ(1,22) = 0,1112
Giá trị p
p = 0,1112
Đáp số
p = 0,1112
p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 78,45
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·10/√64 = 2,45
Giới hạn của khoảng
U = 76 + 2,45 = 78,45
Đáp số
U = 78,45
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9795
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 370/5 = 74
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 482
Hệ số tương quan
r = 136/√(40·482) = 0,9795
Đáp số
r = 0,9795
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 2,75
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 117/5 = 23,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Đường hồi quy
b = −17/10 = −1,7
a = 23,4 − (−1,7)·3 = 28,5
ŷ = 28,5 − 1,7·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 28,5 + (−1,7)·2,5 = 24,25
Phần dư
e = 27 − 24,25 = 2,75
Đáp số
e = 2,75
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.