Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €20 000 sau 10 năm. Một tài khoản trả lãi 3% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €20 0003% / 4n = 10

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn gửi €5 000 vào đầu mỗi năm trong 24 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 8% mỗi năm. Cuối năm 24 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.

A = €5 000i = 8%n = 24

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €60 000 hôm nay và mang về €22 000 vào cuối mỗi năm trong 6 năm. Chi phí vốn là 10%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 22 000CF₃ = 22 000CF₄ = 22 000CF₅ = 22 000CF₆ = 22 000

DPB = năm

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang về €8 500, €8 000, €10 500, €9 000 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 6%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 000CF₃ = 10 500CF₄ = 9 000

MIRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Bạn mua một trái phiếu còn 12 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 2%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 10,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 2%n = 12y₀ = 9%y₁ = 10,5%

HPR = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 7% đáo hạn sau 8 năm và được bán với giá €890. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 7%n = 8P = €890

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €3 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 8%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 1,1. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,4. Thuế suất là 30%, lãi suất phi rủi ro là 1,5% và phần bù rủi ro thị trường là 6%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e ở cơ cấu vốn mới.

β_U = 1,1D/E = 0,4T = 30%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 47, 23, 41, 33, 52, 47.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 94.

μ = 100σ = 12x = 94

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,15, 0,15, 0,35, 0,3Y = 3X + 20

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 246 và 252,5 g? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 252,5

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 63 và độ lệch chuẩn s = 17. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 63s = 1795%t(9) = 2,262

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 21. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 21E = 290%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 500; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 10. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 quan sát có trung bình 497,64. Kiểm định H₀: μ = 500 với H₁: μ < 500. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 500σ = 10n = 25x̄ = 497,64H₁: μ < μ₀

p =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 10E = 190%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 36Σy = 248Σx² = 286Σy² = 11070Σxy = 1724

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2, 37) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(2, 37)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 14833 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·10 = 40

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,348 = €14 832,96

Đáp số

PV = €14 832,96

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 360530 €

Hệ số niên kim thông thường

((1 + 0,08)²⁴ − 1)/0,08 = 66,76

Niên kim đầu kỳ

Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.

FV = 5 000·66,76·1,08 = €360 529,70

Đáp số

FV = €360 529,70

3.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 3,352 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 22 000/1,1 = 20 000,00 → Σ = 20 000,00

năm 2: 22 000/1,21 = 18 181,82 → Σ = 38 181,82

năm 3: 22 000/1,331 = 16 528,93 → Σ = 54 710,74

năm 4: 22 000/1,464 = 15 026,30 → Σ = 69 737,04

Phần của năm cuối

DPB = 3 + 5 289,26/15 026,30 = 3,352

Đáp số

DPB = 3,352 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (2,727 năm).

4.NPV và IRR

Đáp số: MIRR = 11,93 %

IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào

8 500·1,06³ = 10 123,64

8 000·1,06² = 8 988,80

10 500·1,06¹ = 11 130,00

9 000·1,06⁰ = 9 000,00

TV = 39 242,44

MIRR

MIRR = (39 242,44/25 000)^1/4 − 1 = 11,93%

Đáp số

MIRR = 11,93%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: HPR = −3,679 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá mua

C = €20,00, i = 0,09, N = 12

€20,00·(1 − 0,3555)/0,09 + €1 000·0,3555 = €143,21 + €355,53 = €498,75

Giá bán

C = €20,00, i = 0,105, N = 11

€20,00·(1 − 0,3334)/0,105 + €1 000·0,3334 = €126,96 + €333,44 = €460,40

Tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ

HPR = (20 + 460,40 − 498,75)/498,75 = −3,679%

Đáp số

HPR = −3,679%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 8,986 %

Phương trình cho lợi suất

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Giải bằng số

P(8%) = €942,53, P(9%) = €889,30

YTM = 8,986%

Đáp số

YTM = 8,986%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 5,144 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·8% + 0,6·4,5%·(1 − 0,28) = 5,144%

Đáp số

WACC = 5,144%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 9,948 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Beta có đòn bẩy

β_L = 1,1·(1 + 0,7·0,4) = 1,408

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,408·6% = 9,948%

Đáp số

r_e = 9,948%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 10,77

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 243/6 = 40,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 6,5² + (−17,5)² + 0,5² + (−7,5)² + 11,5² + 6,5² = 579,5

Độ lệch chuẩn

s = √(579,5/5) = 10,77

Đáp số

s = 10,77

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,5

Chuẩn hóa

z = (94 − 100)/12 = −0,5

Đáp số

z = −0,5

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 0,6475

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Phương sai

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Đáp số

Var(X) = 0,6475

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 3,562

Độ phân tán của X

μ = 2,7, Var(X) = 1,41, σ_X = 1,187

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |3|·1,187 = 3,562

Đáp số

σ_Y = 3,562

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·2,7 + 20 = 28,1.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,4796

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,5) − Φ(−0,8) = 0,6915 − 0,2119 = 0,4796

Đáp số

P = 0,4796

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 75,16

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Sai số biên

E = 2,262·17/√10 = 12,16

Khoảng

63 ± 12,16 → [50,84, 75,16]

Đáp số

giới hạn trên = 75,16

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 299

Giải tìm n

n = (1,645·21/2)² = 298,3

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 299

Đáp số

n = 299

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (497,64 − 500)/2 = −1,18

Diện tích đuôi

Φ(1,18) = 0,8810

1 − Φ(1,18) = 0,1190

Giá trị p

p = 0,119

Đáp số

p = 0,119

p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 271

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,645·10/1)² = 270,6

Làm tròn lên

n = 271

Đáp số

n = 271

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9854

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1724 − 36·248/6 = 236

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 11070 − 248²/6 = 819,3

Hệ số tương quan

r = 236/√(70·819,3) = 0,9854

Đáp số

r = 0,9854

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,9

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 231/5 = 46,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Đường hồi quy

b = 84/40 = 2,1

a = 46,2 − 2,1·5 = 35,7

ŷ = 35,7 + 2,1·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 35,7 + 2,1·2 = 39,9

Phần dư

e = 37 − 39,9 = −2,9

Đáp số

e = −2,9

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income