Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €10 000 sau 2 năm. Một tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €10 0004,8% / 4n = 2

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €250 vào cuối mỗi tháng trong 8 năm. Tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €2504,8% / 12N = 96

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €4 000, €7 000, €5 000. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000CF₃ = 5 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €40 000 và mang lại €16 500, €27 500, €25 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 27 500CF₃ = 25 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 10 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €649 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 7%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.

F = €1 000n = 10P = €649YTM = 7%

c = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 8% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €1 070. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 8%n = 10P = €1 070

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một cổ phiếu có beta 1,25 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 9,75%. Lãi suất phi rủi ro là 3,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng r_m là bao nhiêu?

β = 1,25r_e = 9,75%r_f = 3,5%

r_m = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €32,50 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €960 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 3,5% và lợi suất thị trường 9,5%. Tìm WACC.

β = 1,2r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 25, 60, 20, 11, 42, 41.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 72 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 12x = 72

P =

11.Xác suấtTrung bình

Gieo một con xúc xắc cân đối 2 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 2

P =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 7 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 5 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,4k = 5

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 4 trong số đó vượt quá 364 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 364 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 95% cho một trung bình, dựa trên 64 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 10,9. Sai số biên E₂ là bao nhiêu nếu cùng nghiên cứu đó dùng 256 quan sát?

95%n₁ = 64E₁ = 10,9n₂ = 256

E₂ =

16.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 10 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 8,1 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 9, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 2,7 và 2,5% nằm trên 19,023.

n = 10s = 8,1 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 114,8 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,8s = 20n = 100

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 54 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 150 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 150n₂ = 250

z =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 78?

n = 6ŷ = 78

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 9090 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·2 = 8

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,1 = €9 089,83

Đáp số

PV = €9 089,83

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 29189 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,467 − 1)/0,004 = €29 188,83

Đáp số

FV = €29 188,83

Bạn tự nộp vào €24 000; phần còn lại là tiền lãi.

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −7289 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 4 000/1,12 = 3 571,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 7 000/1,254 = 5 580,36

CF₃/(1 + 0,12)³ = 5 000/1,405 = 3 558,90

Cộng lại

NPV = €−7 289,31

Đáp số

NPV = €−7 289,31

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 30,94 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(30%) = 571,23

NPV(35%) = −2 324,34

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 30 + 5·571,23/(571,23 − (−2 324,34)) = 30,99%

chính xác: NPV(30,94%) = 0 → IRR = 30,94%

Đáp số

IRR = 30,94%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: c = 2,003 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá trị hiện tại của mệnh giá

1000·(1 + 0,07)⁻¹⁰ = €508,35

Trái tức

C = (649 − 508,35)/7,024 = €20,03

Lãi suất coupon

c = 20,03/1000 = 2,003%

Đáp số

c = 2,003%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 7,003 %

Phương trình cho lợi suất

€1 070 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Giải bằng số

P(7%) = €1 070,24, P(8%) = €1 000,00

YTM = 7,003%

Đáp số

YTM = 7,003%

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_m = 8,5 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Phần bù rủi ro thị trường

r_m − r_f = (9,75% − 3,5%)/1,25 = 5%

Tỉ suất sinh lợi thị trường

r_m = 3,5% + 5% = 8,5%

Đáp số

r_m = 8,5%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 8,063 %

Giá trị thị trường

E = 1 000 000·€32,50 = €32 500 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,2·6% = 10,7%

Trọng số

V = €51 700 000, E/V = 0,6286, D/V = 0,3714

WACC

WACC = 0,6286·10,7% + 0,3714·5%·(1 − 0,28) = 8,063%

Đáp số

WACC = 8,063%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,84

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 199/6 = 33,17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−8,167)² + 26,83² + (−13,17)² + (−22,17)² + 8,833² + 7,833² = 1591

Độ lệch chuẩn

s = √(1591/5) = 17,84

Đáp số

s = 17,84

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1587

Chuẩn hóa

z = 1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

11.Xác suất

Đáp số: P = 0,3056

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Đáp số

P = 0,3056

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,07741

Công thức nhị thức

P(X = 5) = 21·0,4⁵·0,6² = 21·0,01024·0,36 = 0,07741

Đáp số

P = 0,07741

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1587

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Chuẩn hóa

z = (364 − 340)/24 = 1

Xác suất

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9616

Phân bố của hiệu

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Đáp số

P = 0,9616

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 5,45

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/256) = 0,5

Sai số biên mới

E₂ = 10,9·0,5 = 5,45

Đáp số

E₂ = 5,45

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 14,79 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 9·8,1² = 590,5

Các giới hạn cho σ²

590,5/19,023 = 31,04

590,5/2,7 = 218,7

Giới hạn cho σ

σ = √218,7 = 14,79 µm

Đáp số

σ = 14,79 µm

Khoảng 95% cho σ: [5,571, 14,79] µm.

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,6

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Thống kê kiểm định

t = (114,8 − 120)/2 = −2,6

Đáp số

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,716

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 54/120 = 0,45

p̂₂ = 150/250 = 0,6

p̂ = 204/370 = 0,5514

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,5514·0,4486·(1/120 + 1/250)) = 0,05523

Thống kê kiểm định

z = (0,45 − 0,6)/0,05523 = −2,716

Đáp số

z = −2,716

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9834

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 388/5 = 77,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 933,2

Hệ số tương quan

r = 190/√(40·933,2) = 0,9834

Đáp số

r = 0,9834

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 5,52

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 379/6 = 63,17

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128,5

Đường hồi quy

b = 128,5/17,5 = 7,343

a = 63,17 − 7,343·3,5 = 37,47

ŷ = 37,47 + 7,343·x

Giải tìm x

x = (78 − 37,47)/7,343 = 5,52

Đáp số

x = 5,52

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income