Bạn đầu tư €2 000 với lãi suất danh nghĩa 5% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 2 năm.
PV = €2 0005% / 12n = 2
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €15 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 3 năm với lãi suất 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €15 0006% / 12N = 36
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €30 000 hôm nay và mang về €8 500 vào cuối mỗi năm trong 6 năm. Chi phí vốn là 12%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €7 500, €9 500, €9 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 9 500CF3 = 9 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 5 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 6,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4%n = 5y0 = 5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 6 năm. Nó được bán với giá €1 028. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 6P = €1 028
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €23,00; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €34 500 000. Công ty vừa trả cổ tức €1,70 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 3% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €69 000 000 và chi phí trước thuế 3%. Thuế suất là 25,8%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 5 000 000P0 = €23,00vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €34 500 000D0 = €1,70g = 3%D = €69 000 000rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 49, 12, 58, 21, 16, 46, 54.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 450 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 50x = 450
P =
11.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 2 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 2
P =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 5 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 10p = 0,3k = 5
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,9692. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,9692
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 80% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 80).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 13 phần tử có trung bình 50,5 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 13x̄ = 50,5s = 499%t(12) = 3,055
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 17. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 17E = 595%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 50 chi tiết có chiều dài trung bình 92 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 20 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 30 chi tiết có trung bình 102,9 mm, độ lệch chuẩn đã biết 17 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Trong một thử nghiệm, 130 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 174 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 174n₂ = 300
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 21) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 21)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 2210 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,005, N = 36
A = 15 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−36) = €456,33
Tổng tiền lãi
I = N·A − P = 36·456,3 − 15 000 = €1 427,85
Đáp số
I = €1 427,85
3.NPV và IRR
Đáp số: DPB = 4,867 năm
Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.
Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy
năm 1: 8 500/1,12 = 7 589,29 → Σ = 7 589,29
năm 2: 8 500/1,254 = 6 776,15 → Σ = 14 365,43
năm 3: 8 500/1,405 = 6 050,13 → Σ = 20 415,57
năm 4: 8 500/1,574 = 5 401,90 → Σ = 25 817,47
năm 5: 8 500/1,762 = 4 823,13 → Σ = 30 640,60
Phần của năm cuối
DPB = 4 + 4 182,53/4 823,13 = 4,867
Đáp số
DPB = 4,867 năm
Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,529 năm).
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 13,89 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(10%) = 1 431,25
NPV(15%) = −377,25
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €15,00, N = 12
Giải bằng số
i = 1,247% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·1,247% = 2,495%
Đáp số
YTM = 2,495%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,3 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 7,3%
Đáp số
WACC = 7,3%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,468 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Đáp số
P = 0,1587
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,3056
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Đáp số
P = 0,3056
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,1029
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,9692)/2 = 0,9846
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,9846 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 2,16
Đáp số
z = 2,16
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 533,7 h
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Quay lại x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Đáp số
x = 533,66 h
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 47,11
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Sai số biên
E = 3,055·4/√13 = 3,389
Khoảng
50,5 ± 3,389 → [47,11, 53,89]
Đáp số
giới hạn dưới = 47,11
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 45
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·17/5)² = 44,41
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 45
Đáp số
n = 45
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −2,596
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(20²/50 + 17²/30) = √17,63 = 4,199
Thống kê kiểm định
z = (92 − 102,9)/4,199 = −2,596
Đáp số
z = −2,596
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,571
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 174/300 = 0,58
p̂ = 304/500 = 0,608
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,608·0,392·(1/200 + 1/300)) = 0,04457
Thống kê kiểm định
z = (0,65 − 0,58)/0,04457 = 1,571
Đáp số
z = 1,571
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9922
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 11037 − 120·531/6 = 417
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 49517 − 531²/6 = 2524
Hệ số tương quan
r = 417/√(70·2524) = 0,9922
Đáp số
r = 0,9922
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −4,243
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 141/6 = 23,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Đường hồi quy
b = −30,5/17,5 = −1,743
a = 23,5 − (−1,743)·3,5 = 29,6
ŷ = 29,6 − 1,743·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 29,6 + (−1,743)·2,5 = 25,24
Phần dư
e = 21 − 25,24 = −4,243
Đáp số
e = −4,243
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.