Một niên kim trả €1 500 vào cuối mỗi năm trong 10 năm. Lãi suất là 7% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.
A = €1 500i = 7%n = 10
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 6 năm. Lãi suất là 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €25 0003% / 12N = 72
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €17 000, €14 000, €22 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €50 000 và mang lại €19 500, €34 500, €25 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 34 500CF3 = 25 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% và đáo hạn sau 11 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 3% thành 3,5%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 2%n = 11y1 = 3%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 015 với lợi suất đến ngày đáo hạn 3% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 11,2 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 75 điểm cơ bản.
P0 = €1 015y = 3%D = 11,2Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €1 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 9%, chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 0,7. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,5. Thuế suất là 25,8%, lãi suất phi rủi ro là 2% và phần bù rủi ro thị trường là 4%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re ở cơ cấu vốn mới.
βU = 0,7D/E = 0,5T = 25,8%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 52, 54, 35, 44, 22, 21, 42.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 65.
μ = 50σ = 10x = 65
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,2, 0,35, 0,2
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
7 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 7p = 0,5
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,8230. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,8230
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 8 phần tử có trung bình 43,5 và độ lệch chuẩn s = 10,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 8x̄ = 43,5s = 10,590%t(7) = 1,895
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?
σ = 18E = 199%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 98,2 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,2s = 8n = 16
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,01 phải phát hiện được sự dịch chuyển 3 đơn vị của trung bình với lực 95%. Độ lệch chuẩn là 6. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,01lực của kiểm định = 95%δ = 3σ = 6zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 10535 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Hệ số niên kim
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5083)/0,07 = 7,024
Giá trị hiện tại
PV = 1 500·7,024 = €10 535,37
Đáp số
PV = €10 535,37
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 379,8 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8355) = €379,84
Đáp số
A = €379,84
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −15632 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 17 000/1,09 = 15 596,33
CF2/(1 + 0,09)2 = 14 000/1,188 = 11 783,52
CF3/(1 + 0,09)3 = 22 000/1,295 = 16 988,04
Cộng lại
NPV = €−15 632,11
Đáp số
NPV = €−15 632,11
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 25,94 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(25%) = 736,00
NPV(30%) = −2 979,06
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 11,2/1,03 = 10,87
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −10,87·(0,0075) = −8,155%
P ≈ 1015·(1 − 0,08155) = €932,22
Đáp số
P = €932,22
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,75 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·7%·(1 − 0,25) = 7,75%
Đáp số
WACC = 7,75%
8.CAPM và WACC
Đáp số: re = 5,839 %
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Beta có đòn bẩy
βL = 0,7·(1 + 0,742·0,5) = 0,9597
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 2% + 0,9597·4% = 5,839%
Đáp số
re = 5,839%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 13,26
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (65 − 50)/10 = 1,5
Đáp số
z = 1,5
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,54
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Cộng lại
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Đáp số
P = 0,0625
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 1,35
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,8230)/2 = 0,9115
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,9115 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 1,35
Đáp số
z = 1,35
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7611
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Đáp số
P = 0,7611
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 50,53
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Sai số biên
E = 1,895·10,5/√8 = 7,035
Khoảng
43,5 ± 7,035 → [36,47, 50,53]
Đáp số
giới hạn trên = 50,53
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 2150
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·18/1)² = 2150
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 2150
Đáp số
n = 2150
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,9
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Thống kê kiểm định
t = (98,2 − 100)/2 = −0,9
Đáp số
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 64
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((2,326 + 1,645)·6/3)² = 63,08
Làm tròn lên
n = 64
Đáp số
n = 64
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9924
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 125/5 = 25
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Syy = Σ(y − ȳ)² = 556
Hệ số tương quan
r = 148/√(40·556) = 0,9924
Đáp số
r = 0,9924
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 20,05
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 117/5 = 23,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134
Đường hồi quy
b = 134/40 = 3,35
a = 23,4 − 3,35·6 = 3,3
ŷ = 3,3 + 3,35·x
Dự đoán
ŷ = 3,3 + 3,35·5 = 20,05
Đáp số
ŷ = 20,05
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.