Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €50 000 sau 2 năm. Một tài khoản trả lãi 4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €50 0004% / 12n = 2

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €200 0002,4% / 12N = 360

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €30 000 hôm nay, dùng được 7 năm và tốn €2 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 5%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.

C₀ = €30 000M = €2 000n = 7r = 5%

EAC = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €18 500, €9 500, €12 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 9 500CF₃ = 12 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Bạn mua một trái phiếu còn 12 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 5%n = 12y₀ = 3,5%y₁ = 2,5%

HPR = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 005 với lợi suất đến ngày đáo hạn 3% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 12 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất giảm 150 điểm cơ bản.

P₀ = €1 005y = 3%D = 12Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 13%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €29,00; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €29 000 000. Công ty vừa trả cổ tức €2,70 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 4% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €34 800 000 và chi phí trước thuế 4,5%. Thuế suất là 20%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.

N = 2 000 000P₀ = €29,00vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €29 000 000D₀ = €2,70g = 4%D = €34 800 000r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 43, 51, 39, 50, 55.

n = 5

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 172.

μ = 170σ = 5x = 172

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

12 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,2, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 12p = 0,2

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 201 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 15 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −9,3 và độ lệch chuẩn 4. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 15d̄ = −9,3s_d = 499%t(14) = 2,977

giới hạn dưới = mmHg

16.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 5 ô, năng suất trung bình 44,5 kg, độ lệch chuẩn 8,5 kg. Nhóm ô 2: 7 ô, trung bình 51,5 kg, độ lệch chuẩn 7,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 44,5s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 51,5s₂ = 7,599%t(10) = 3,169

giới hạn trên = kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 121,1 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,1s = 4n = 81

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 500 với H₁: μ < 500 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 498.6. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 500μ = 498,6σ = 5n = 100α = 0,10

β = %

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 30Σy = 75Σx² = 220Σy² = 1247Σxy = 518

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 21.

n = 5x = 21

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 46162 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·2 = 24

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,083 = €46 161,96

Đáp số

PV = €46 161,96

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 779,9 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·30 = 360

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,4871

A = 200 000·0,002/(1 − 0,4871) = €779,88

Đáp số

A = €779,88

3.NPV và IRR

Đáp số: EAC = 7185 €

Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.

Hệ số niên kim

(1 − 1,05⁻⁷)/0,05 = 5,786

Giá mua quy đổi theo năm

30 000/5,786 = 5 184,59

EAC

EAC = 5 184,59 + 2 000 = €7 184,59

Đáp số

EAC = €7 184,59

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 30,99 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(30%) = 314,06

NPV(35%) = −1 206,37

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 30 + 5·314,06/(314,06 − (−1 206,37)) = 31,03%

chính xác: NPV(30,99%) = 0 → IRR = 30,99%

Đáp số

IRR = 30,99%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: HPR = 12,48 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá mua

C = €50,00, i = 0,035, N = 12

€50,00·(1 − 0,6618)/0,035 + €1 000·0,6618 = €483,17 + €661,78 = €1 144,95

Giá bán

C = €50,00, i = 0,025, N = 11

€50,00·(1 − 0,7621)/0,025 + €1 000·0,7621 = €475,71 + €762,14 = €1 237,86

Tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ

HPR = (50 + 1 237,86 − 1 144,95)/1 144,95 = 12,48%

Đáp số

HPR = 12,48%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1181 €

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Thời lượng điều chỉnh

D_mod = 12/1,03 = 11,65

Thay đổi giá ước lượng

%ΔP ≈ −11,65·(−0,015) = 17,48%

P ≈ 1005·(1 + 0,1748) = €1 180,63

Đáp số

P = €1 180,63

Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,903 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 9,903%

Đáp số

WACC = 9,903%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,902 %

Chi phí vốn chủ sở hữu

D₁ = 2,7·1,04 = €2,81

r_e = 2,808/29 + 0,04 = 13,68%

Giá trị thị trường

E = 2 000 000·€29,00 = €58 000 000

V = €92 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13,68% + 0,375·4,5%·(1 − 0,2) = 9,902%

Đáp số

WACC = 9,902%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 6,465

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 238/5 = 47,6

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + 3,4² + (−8,6)² + 2,4² + 7,4² = 167,2

Độ lệch chuẩn

s = √(167,2/4) = 6,465

Đáp số

s = 6,465

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 0,4

Chuẩn hóa

z = (172 − 170)/5 = 0,4

Đáp số

z = 0,4

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,228

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,2 = 2,15

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,85

Phương sai

Var(X) = 5,85 − 2,15² = 1,228

Đáp số

Var(X) = 1,228

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,2749

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Cộng lại

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Đáp số

P = 0,2749

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,02275

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Chuẩn hóa

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Đuôi trên

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −12,37 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 14, t = 2,977

Sai số biên

E = 2,977·4/√15 = 3,075

Khoảng

−9,3 ± 3,075 → [−12,37, −6,225]

Đáp số

giới hạn dưới = −12,37 mmHg

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 7,687 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (4·8,5² + 6·7,5²)/10 = 62,65

s_p = 7,915

Sai số biên

E = 3,169·7,915·√(1/5 + 1/7) = 14,69

Khoảng

−7 ± 14,69 → [−21,69, 7,687]

Đáp số

giới hạn trên = 7,687 kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,475

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Thống kê kiểm định

t = (121,1 − 120)/0,4444 = 2,475

Đáp số

t = 2,475

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 6,451 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 − 1,282·0,5 = 499,4

z theo trung bình thật

z = (499,4 − 498,6)/0,5 = 1,518

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 1.518) = 93.55%

β = 100% − 93,55% = 6,451%

Đáp số

β = 6,451%

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9734

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 518 − 30·75/5 = 68

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1247 − 75²/5 = 122

Hệ số tương quan

r = 68/√(40·122) = 0,9734

Đáp số

r = 0,9734

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 64,75

Các giá trị trung bình

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 333/5 = 66,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Đường hồi quy

b = 74/40 = 1,85

a = 66,6 − 1,85·22 = 25,9

ŷ = 25,9 + 1,85·x

Dự đoán

ŷ = 25,9 + 1,85·21 = 64,75

Đáp số

ŷ = 64,75

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income