Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €8 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 7% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €8 000g = 2%r = 7%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay thế chấp €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm với lãi suất 4,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 12 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.
P = €150 0004,2% / 12N = 360k = 144
B = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €250 000 hôm nay. Nó tạo ra €14 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €250 000CF1 = €14 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €40 000 và mang lại €16 500, €21 500, €25 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −40 000CF1 = 16 500CF2 = 21 500CF3 = 25 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 10 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 306 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 10P = €1 306YTM = 2,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 4% đáo hạn sau 7 năm và được bán với giá €940. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €940
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €30,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 1,8, lãi suất phi rủi ro 3,5% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.
β = 1,8rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 38, 18, 30, 22, 49, 23, 22.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 42,5.
μ = 50σ = 15x = 42,5
z =
11.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 3 người từ một nhóm 15 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 15k = 3
N =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 9 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 9p = 0,25k = 4
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,8830. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,8830
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 6 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 9,2 và độ lệch chuẩn 1,9. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
n = 6d̄ = 9,2sd = 1,995%t(5) = 2,571
giới hạn trên = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 35. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 35E = 595%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 203,9 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 12n = 81
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 81 phép đo có trung bình 497,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 497,3σ = 15n = 8199%
U =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 160000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,0035, N = 360
A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−360) = €733,53
Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại
Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.
N − k = 360 − 144 = 216
B = 733,5·(1 − (1 + 0,0035)−216)/0,0035 = €111 043,01
Đáp số
B = €111 043,01
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −16667 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 14 000/(0,08 − 0,02) = 233 333,33
NPV
NPV = 233 333,33 − 250 000 = −€16 666,67
Đáp số
NPV = −€16 666,67
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 25,03 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(25%) = 16,00
NPV(30%) = −2 979,06
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 25 + 5·16,00/(16,00 − (−2 979,06)) = 25,03%
chính xác: NPV(25,03%) = 0 → IRR = 25,03%
Đáp số
IRR = 25,03%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: c = 5,996 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,025)−10 = €781,20
Trái tức
C = (1306 − 781,20)/8,752 = €59,96
Lãi suất coupon
c = 59,96/1000 = 5,996%
Đáp số
c = 5,996%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 5,038 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Giải bằng số
P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35
YTM = 5,038%
Đáp số
YTM = 5,038%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 5,7 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·12% + 0,75·5%·(1 − 0,28) = 5,7%
Đáp số
WACC = 5,7%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,45 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (42,5 − 50)/15 = −0,5
Đáp số
z = −0,5
11.Xác suất
Đáp số: N = 455
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Đáp số
N = 455
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,1168
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = 1 − 0,8830 = 0,1170
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,1170 bên trong bảng và đọc ra z.
z = −1,19
Đáp số
z = −1,19
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 11,19 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 5, t = 2,571
Sai số biên
E = 2,571·1,9/√6 = 1,994
Khoảng
9,2 ± 1,994 → [7,206, 11,19]
Đáp số
giới hạn trên = 11,19 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 189
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·35/5)² = 188,2
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 189
Đáp số
n = 189
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,925
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Thống kê kiểm định
t = (203,9 − 200)/1,333 = 2,925
Đáp số
t = 2,925
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 501,6
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·15/√81 = 4,293
Giới hạn của khoảng
U = 497,3 + 4,293 = 501,6
Đáp số
U = 501,6
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9513
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 256/6 = 42,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 327,3
Hệ số tương quan
r = 144/√(70·327,3) = 0,9513
Đáp số
r = 0,9513
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 12,18
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 154/6 = 25,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Đường hồi quy
b = 236/70 = 3,371
a = 25,67 − 3,371·7 = 2,067
ŷ = 2,067 + 3,371·x
Dự đoán
ŷ = 2,067 + 3,371·3 = 12,18
Đáp số
ŷ = 12,18
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.