Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €8 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 1,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 5,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €20 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 4 năm. Lãi suất là 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €20 0003% / 12N = 48
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €31 000, €25 000, €28 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €6 500, €7 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 3 năm. Lợi suất đáo hạn là 7% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 7%n = 3
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 5% đáo hạn sau 9 năm và được bán với giá €1 155. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 5%n = 9P = €1 155
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €5 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €34,00 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €960 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 25%. Beta của cổ phiếu là 0,9, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 7,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 58, 39, 32, 52, 15, 17, 40.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 52 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 15x = 52
P =
11.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 7 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 7
P =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €30 với xác suất 0,3 và €500 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€30: p = 0,3€500: p = 0,05
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 28,3 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 10% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 10).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 12 phần tử có trung bình 52,5 và độ lệch chuẩn s = 12,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 12x̄ = 52,5s = 12,590%t(11) = 1,796
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 31. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 31E = 599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 100 chi tiết có chiều dài trung bình 112,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 12 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 60 chi tiết có trung bình 115,7 mm, độ lệch chuẩn đã biết 10 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Một mẫu 49 phép đo có trung bình 77,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 77,4σ = 10n = 4995%
U =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 30Σy = 125Σx² = 220Σy² = 3741Σxy = 906
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 200000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €442,69
Đáp số
A = €442,69
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −5120 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 31 000/1,1 = 28 181,82
CF2/(1 + 0,1)2 = 25 000/1,21 = 20 661,16
CF3/(1 + 0,1)3 = 28 000/1,331 = 21 036,81
Cộng lại
NPV = €−5 120,21
Đáp số
NPV = €−5 120,21
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 22,26 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(20%) = 277,78
NPV(25%) = −320,00
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−320,00)) = 22,32%
chính xác: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%
Đáp số
IRR = 22,26%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 946,7 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €25,00, i = 0,035, N = 6
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€25,00·(1 − 0,8135)/0,035 = €133,21
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8135 = €813,50
Giá
P = €946,71
Đáp số
P = €946,71
Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 3,008 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€1 155 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Giải bằng số
P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35
YTM = 3,008%
Đáp số
YTM = 3,008%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,012 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Đáp số
P = 0,8849
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,7209
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Đáp số
P = 0,7209
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = 24 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 20 (p = 0,3), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 20·0,3 + 490·0,05 − 10·0,65 = 24 €
Đáp số
E(G) = 24 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9306
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Đáp số
P = 0,9306
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 169 cm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Quay lại x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Đáp số
x = 169,03 cm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 6,481
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Sai số biên
E = 1,796·12,5/√12 = 6,481
Đáp số
E = 6,481
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 256
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·31/5)² = 255,1
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 256
Đáp số
n = 256
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −1,816
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(12²/100 + 10²/60) = √3,107 = 1,763
Thống kê kiểm định
z = (112,5 − 115,7)/1,763 = −1,816
Đáp số
z = −1,816
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 80,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·10/√49 = 2,8
Giới hạn của khoảng
U = 77,4 + 2,8 = 80,2
Đáp số
U = 80,2
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9938
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 906 − 30·125/5 = 156
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3741 − 125²/5 = 616
Hệ số tương quan
r = 156/√(40·616) = 0,9938
Đáp số
r = 0,9938
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 18,17
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 109/6 = 18,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45,5
Đường hồi quy
b = −45,5/17,5 = −2,6
a = 18,17 − (−2,6)·3,5 = 27,27
ŷ = 27,27 − 2,6·x
Dự đoán
ŷ = 27,27 + (−2,6)·3,5 = 18,17
Đáp số
ŷ = 18,17
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.