Một niên kim trả €8 000 vào cuối mỗi năm trong 9 năm. Lãi suất là 6% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.
A = €8 000i = 6%n = 9
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn muốn có €75 000 sau 16 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.
FV = €75 0003,6% / 12N = 192
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €7 000, €8 000, €7 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €11 500, €12 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 12 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 4 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 3%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 4,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 4y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 7 năm và được bán với giá €910. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €910
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €40,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 30%. Beta của cổ phiếu là 0,6, lãi suất phi rủi ro 1,5% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 7%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 31, 20, 28, 32, 38, 11.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 60. Tìm điểm z z của điểm số 590.
μ = 500σ = 60x = 590
z =
11.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 5 quả bóng đỏ và 5 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
5 / 5
P =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 4
σY =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 57 và 80,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 80,5
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 80% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 100 điểmσ = 15 điểm80%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 8 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −5,8 và độ lệch chuẩn 6,5. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
n = 8d̄ = −5,8sd = 6,595%t(7) = 2,365
E = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 11 ô, năng suất trung bình 85 kg, độ lệch chuẩn 9 kg. Nhóm ô 2: 10 ô, trung bình 88,5 kg, độ lệch chuẩn 6,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 250; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 20. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 64 quan sát có trung bình 255,45. Kiểm định H₀: μ = 250 với H₁: μ > 250. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 250σ = 20n = 64x̄ = 255,45H₁: μ > μ₀
p =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 105 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 122 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 122n₂ = 200
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 73) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 73)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 54414 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Hệ số niên kim
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5919)/0,06 = 6,802
Giá trị hiện tại
PV = 8 000·6,802 = €54 413,54
Đáp số
PV = €54 413,54
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 289,4 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 7 000/1,08 = 6 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 8 000/1,166 = 6 858,71
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
Cộng lại
NPV = €−1 102,98
Đáp số
NPV = €−1 102,98
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 12,87 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(10%) = 785,12
NPV(15%) = −548,20
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 10 + 5·785,12/(785,12 − (−548,20)) = 12,94%
chính xác: NPV(12,87%) = 0 → IRR = 12,87%
Đáp số
IRR = 12,87%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: HPR = 6,424 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Giải bằng số
P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27
YTM = 4,529%
Đáp số
YTM = 4,529%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,76 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·5%·(1 − 0,28) = 7,76%
Đáp số
WACC = 7,76%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 4,744 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (590 − 500)/60 = 1,5
Đáp số
z = 1,5
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,2222
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222
Đáp số
P = 0,2222
12.Xác suất
Đáp số: σY = 4,023
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Đáp số
σY = 4,023
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·1,05 + 4 = 9,25.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7276
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,55) − Φ(−0,8) = 0,9394 − 0,2119 = 0,7276
Đáp số
P = 0,7276
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 87,4 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,2
z từ bảng
z ≈ −0,84
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 100 − 0,84·15 = 87,4 điểm
Đáp số
x = 87,4 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,435 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 7, t = 2,365
Sai số biên
E = 2,365·6,5/√8 = 5,435
Đáp số
E = 5,435 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −10,74 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (10·9² + 9·6,5²)/19 = 62,64
sp = 7,915
Sai số biên
E = 2,093·7,915·√(1/11 + 1/10) = 7,238
Khoảng
−3,5 ± 7,238 → [−10,74, 3,738]
Đáp số
giới hạn dưới = −10,74 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,01463
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (255,45 − 250)/2,5 = 2,18
Diện tích đuôi
Φ(2,18) = 0,9854
1 − Φ(2,18) = 0,0146
Giá trị p
p = 0,01463
Đáp số
p = 0,01463
p ≤ 0,05, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5%.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,745
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 105/150 = 0,7
p̂₂ = 122/200 = 0,61
p̂ = 227/350 = 0,6486
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,6486·0,3514·(1/150 + 1/200)) = 0,05157
Thống kê kiểm định
z = (0,7 − 0,61)/0,05157 = 1,745
Đáp số
z = 1,745
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9613
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 43,33
Hệ số xác định
r² = −27²/(17,5·43,33) = 0,9613
Đáp số
r² = 0,9613
Khoảng 96,13% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 5,5
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 405/6 = 67,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79,5
Đường hồi quy
b = 79,5/17,5 = 4,543
a = 67,5 − 4,543·4,5 = 47,06
ŷ = 47,06 + 4,543·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 47,06 + 4,543·4,5 = 67,5
Phần dư
e = 73 − 67,5 = 5,5
Đáp số
e = 5,5
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.