Bạn đầu tư €2 000 với lãi suất 8% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 12 năm.
PV = €2 000r = 8%t = 12
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 3 năm. Lãi suất là 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €25 0002,4% / 12N = 36
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €12 000, €14 000, €10 000, €7 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một khoản đầu tư €40 000 mang về €10 500 vào cuối mỗi năm trong 5 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
C0 = €40 000CF = €10 500n = 5
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 13 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 103 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 13P = €1 103YTM = 3,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €990 với lợi suất đến ngày đáo hạn 7% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 3,5 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 75 điểm cơ bản.
P0 = €990y = 7%D = 3,5Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €5 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.
Cổ phiếu của một công ty có beta 1,4 ở tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu hiện tại 0,4. Công ty dự định tăng tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu lên 1. Thuế suất là 21%, lãi suất phi rủi ro 3,5% và phần bù rủi ro thị trường 5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re sau thay đổi.
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 16, 36, 58, 12, 16.
n = 5
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 8. Tìm điểm z z của điểm số 46.
μ = 50σ = 8x = 46
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,2, 0,35
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €3 mỗi lượt. Bạn thắng €9 với xác suất 0,3 và €60 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €3€9: p = 0,3€60: p = 0,05
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 142,6 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 142,6 kg
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 90% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm90%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 13 phần tử có trung bình 82 và độ lệch chuẩn s = 10,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 13x̄ = 82s = 10,599%t(12) = 3,055
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?
σ = 20E = 399%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 7 học sinh, điểm trung bình 101,5, độ lệch chuẩn 5,5. Nhóm 2: 5 học sinh, điểm trung bình 99,6, độ lệch chuẩn 3. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 7x̄₁ = 101,5s₁ = 5,5n₂ = 5x̄₂ = 99,6s₂ = 3
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,01 phải phát hiện được sự dịch chuyển 1,5 đơn vị của trung bình với lực 95%. Độ lệch chuẩn là 9. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,01lực của kiểm định = 95%δ = 1,5σ = 9zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 5223 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số mũ
r·t = 0,08·12 = 0,96
e0,96 = 2,612
Giá trị tương lai
FV = 2 000·2,612 = €5 223,39
Đáp số
FV = €5 223,39
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 720,4 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·3 = 36
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,9306
A = 25 000·0,002/(1 − 0,9306) = €720,44
Đáp số
A = €720,44
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 8524 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 14 000/1,103 = 12 698,41
CF3/(1 + 0,05)3 = 10 000/1,158 = 8 638,38
CF4/(1 + 0,05)4 = 7 000/1,216 = 5 758,92
Cộng lại
NPV = €8 524,28
Đáp số
NPV = €8 524,28
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 9,807 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Hệ số niên kim cần thiết
(1 − (1 + i)−5)/i = 40 000/10 500 = 3,81
Giải tìm lãi suất
Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.
i = 9%: 3,89
i = 10%: 3,791
IRR = 9,807%
Đáp số
IRR = 9,807%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: c = 4,5 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,035)−13 = €639,40
Trái tức
C = (1103 − 639,40)/10,3 = €45,00
Lãi suất coupon
c = 45/1000 = 4,5%
Đáp số
c = 4,5%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 965,7 €
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 3,5/1,07 = 3,271
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −3,271·(0,0075) = −2,453%
P ≈ 990·(1 − 0,02453) = €965,71
Đáp số
P = €965,71
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,873 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Bỏ đòn bẩy của beta
βU = 1,4/(1 + 0,79·0,4) = 1,064
Áp lại đòn bẩy ở D/E mới
βL = 1,064·(1 + 0,79·1) = 1,904
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 3,5% + 1,904·5% = 13,02%
Đáp số
re = 13,02%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 19,41
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (46 − 50)/8 = −0,5
Đáp số
z = −0,5
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 6,16
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,3 + 2·0,15 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,2
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,15 + 16·0,2 + 36·0,35 = 16,4
Phương sai
Var(X) = 16,4 − 3,2² = 6,16
Đáp số
Var(X) = 6,16
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = 2,7 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 6 (p = 0,3), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 6·0,3 + 57·0,05 − 3·0,65 = 2,7 €
Đáp số
E(G) = 2,7 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,695
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Chuẩn hóa
z = (142,6 − 144)/2,771 = −0,51
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,51) = 0,695
Đáp số
P = 0,695
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 52,2 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,1
z từ bảng
z ≈ −1,28
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 điểm
Đáp số
x = 52,2 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 90,9
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Sai số biên
E = 3,055·10,5/√13 = 8,897
Khoảng
82 ± 8,897 → [73,1, 90,9]
Đáp số
giới hạn trên = 90,9
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 295
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·20/3)² = 294,9
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 295
Đáp số
n = 295
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,6958
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (6·5,5² + 4·3²)/10 = 21,75
sp = 4,664
Sai số chuẩn
SE = 4,664·√(1/7 + 1/5) = 2,731
Thống kê kiểm định
t = (101,5 − 99,6)/2,731 = 0,6958
Đáp số
t = 0,6958
Với df = 10, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,228; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 568
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((2,326 + 1,645)·9/1,5)² = 567,7
Làm tròn lên
n = 568
Đáp số
n = 568
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,8781
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 33,2
Hệ số tương quan
r = −16/√(10·33,2) = −0,8781
Đáp số
r = −0,8781
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 33,6
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 158/5 = 31,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40
Đường hồi quy
b = 40/10 = 4
a = 31,6 − 4·4 = 15,6
ŷ = 15,6 + 4·x
Dự đoán
ŷ = 15,6 + 4·4,5 = 33,6
Đáp số
ŷ = 33,6
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.