Bạn đầu tư €5 000 với lãi suất 5% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 14 năm.
PV = €5 000r = 5%t = 14
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €200 0004,8% / 12N = 240
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €400 000 hôm nay. Nó tạo ra €22 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €400 000CF1 = €22 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một khoản đầu tư €40 000 mang về €5 000 vào cuối mỗi năm trong 10 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
C0 = €40 000CF = €5 000n = 10
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 4 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 053 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 4P = €1 053YTM = 5,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 8 năm và được bán với giá €840. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €840
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 0,6 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 5,4%. Lãi suất phi rủi ro là 3%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 0,6re = 5,4%rf = 3%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Cổ phiếu của một công ty có beta 1,2 ở tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu hiện tại 0,2. Công ty dự định tăng tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu lên 1. Thuế suất là 25%, lãi suất phi rủi ro 2,5% và phần bù rủi ro thị trường 4,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re sau thay đổi.
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 37, 30, 38, 30, 52, 52, 38.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 45 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 15x = 45
P =
11.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 3 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 3
P =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €50 với xác suất 0,25 và €200 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€50: p = 0,25€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 117,8 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 30 điện thoại, trung bình 141,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 13 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 138,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 3 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,025?
p = 0,5E = 0,02599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Trung bình của một tổng thể được cho là 250; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 18. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 144 quan sát có trung bình 248,44. Kiểm định H₀: μ = 250 với H₁: μ < 250. Tìm giá trị p p.
μ₀ = 250σ = 18n = 144x̄ = 248,44H₁: μ < μ₀
p =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 500 với H₁: μ < 500 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 36; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 491.5. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 500μ = 491,5σ = 15n = 36α = 0,05
1 − β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 10069 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số mũ
r·t = 0,05·14 = 0,7
e0,7 = 2,014
Giá trị tương lai
FV = 5 000·2,014 = €10 068,76
Đáp số
FV = €10 068,76
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: I = 111500 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị của các dòng tiền
PV = 22 000/(0,09 − 0,02) = 314 285,71
NPV
NPV = 314 285,71 − 400 000 = −€85 714,29
Đáp số
NPV = −€85 714,29
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 4,277 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Hệ số niên kim cần thiết
(1 − (1 + i)−10)/i = 40 000/5 000 = 8
Giải tìm lãi suất
Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.
i = 4%: 8,111
i = 5%: 7,722
IRR = 4,277%
Đáp số
IRR = 4,277%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: c = 7,012 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,055)−4 = €807,22
Trái tức
C = (1053 − 807,22)/3,505 = €70,12
Lãi suất coupon
c = 70,12/1000 = 7,012%
Đáp số
c = 7,012%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 5,529 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€840 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Giải bằng số
P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71
YTM = 5,529%
Đáp số
YTM = 5,529%
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 7 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (5,4% − 3%)/0,6 = 4%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 3% + 4% = 7%
Đáp số
rm = 7%
8.CAPM và WACC
Đáp số: re = 10,72 %
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Bỏ đòn bẩy của beta
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,2) = 1,043
Áp lại đòn bẩy ở D/E mới
βL = 1,043·(1 + 0,75·1) = 1,826
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 2,5% + 1,826·4,5% = 10,72%
Đáp số
re = 10,72%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 9,163
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,4213
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Đáp số
P = 0,4213
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = 4,5 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 40 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 40·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = 4,5 €
Đáp số
E(G) = 4,5 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7611
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Đáp số
P = 0,7611
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −0,956 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 141,5 − 138,5 = 3
Sai số chuẩn
SE = √(13²/30 + 3²/60) = 2,405
Sai số biên
E = 1,645·2,405 = 3,956
Khoảng
3 ± 3,956 → [−0,956, 6,956]
Đáp số
giới hạn dưới = −0,956 h
Khoảng chứa 0, nên dữ liệu không cho thấy sự khác biệt có ý nghĩa.
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 2655
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Giải tìm n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654
Làm tròn lên
n = 2655
Đáp số
n = 2655
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: p = 0,1492
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Thống kê kiểm định
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (248,44 − 250)/1,5 = −1,04
Diện tích đuôi
Φ(1,04) = 0,8508
1 − Φ(1,04) = 0,1492
Giá trị p
p = 0,1492
Đáp số
p = 0,1492
p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 96,04 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 500 − 1,645·2,5 = 495,9
z theo trung bình thật
z = (495,9 − 491,5)/2,5 = 1,755
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < 1.755) = 96.04%
1 − β = 96,04%
Đáp số
1 − β = 96,04%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,9034
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 47,33
Hệ số tương quan
r = −26/√(17,5·47,33) = −0,9034
Đáp số
r = −0,9034
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 20,3
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.