Bạn cần €20 000 sau 3 năm. Một tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.
FV = €20 0004,8% / 4n = 3
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn muốn có €25 000 sau 4 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.
FV = €25 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €9 000, €5 000, €7 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €150 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €15 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 5% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 10. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 5%n = 10r = 12%
NPV = €
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 3 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 3%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 3y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 000 với lợi suất đến ngày đáo hạn 7% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 8,3 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 150 điểm cơ bản.
P0 = €1 000y = 7%D = 8,3Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 20%. Tìm WACC.
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €47,00; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €56 400 000. Công ty vừa trả cổ tức €2,90 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 4% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €94 000 000 và chi phí trước thuế 6%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 4 000 000P0 = €47,00vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €56 400 000D0 = €2,90g = 4%D = €94 000 000rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 12, 46, 24, 34, 50, 27.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 62,5 là bao nhiêu?
μ = 50σ = 10x = 62,5
P =
11.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 3 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 3
P =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 10p = 0,4k = 3
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,9357. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,9357
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 70 và độ lệch chuẩn s = 3,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 16x̄ = 70s = 3,599%t(15) = 2,947
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 39. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?
σ = 39E = 0,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 116,7 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,7s = 12n = 64
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 16 phép đo có trung bình 58,7. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 58,7σ = 12n = 1699%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 29,5.
n = 6x = 29,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 17333 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·3 = 12
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,154 = €17 332,61
Đáp số
PV = €17 332,61
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 451 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 9 000/1,07 = 8 411,21
CF2/(1 + 0,07)2 = 5 000/1,145 = 4 367,19
CF3/(1 + 0,07)3 = 7 000/1,225 = 5 714,09
Cộng lại
NPV = €−1 507,51
Đáp số
NPV = €−1 507,51
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −48099 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 8,3/1,07 = 7,757
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −7,757·(0,015) = −11,64%
P ≈ 1000·(1 − 0,1164) = €883,64
Đáp số
P = €883,64
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,343 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·12% + 0,5714·7%·(1 − 0,2) = 8,343%
Đáp số
WACC = 8,343%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,445 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,25
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Đáp số
P = 0,1056
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,4213
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Đáp số
P = 0,4213
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,215
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,9357)/2 = 0,9678
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,9678 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 1,85
Đáp số
z = 1,85
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 119,2 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 điểm
Đáp số
x = 119,22 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 72,58
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Sai số biên
E = 2,947·3,5/√16 = 2,579
Khoảng
70 ± 2,579 → [67,42, 72,58]
Đáp số
giới hạn trên = 72,58
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 40373
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·39/0,5)² = 40372
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 40373
Đáp số
n = 40373
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Thống kê kiểm định
t = (116,7 − 120)/1,5 = −2,2
Đáp số
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 50,97
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·12/√16 = 7,728
Giới hạn của khoảng
L = 58,7 − 7,728 = 50,97
Đáp số
L = 50,97
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9445
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1364 − 27·285/6 = 81,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 13963 − 285²/6 = 425,5
Hệ số tương quan
r = 81,5/√(17,5·425,5) = 0,9445
Đáp số
r = 0,9445
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 126,2
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 586/6 = 97,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 750
Đường hồi quy
b = 750/157,5 = 4,762
a = 97,67 − 4,762·23,5 = −14,24
ŷ = −14,24 + 4,762·x
Dự đoán
ŷ = −14,24 + 4,762·29,5 = 126,2
Đáp số
ŷ = 126,2
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.