Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một thẻ tín dụng tính lãi suất danh nghĩa 18% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm lãi suất thực hằng năm EAR theo phần trăm.

r = 18%m = 12

EAR = %

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 7 năm với lãi suất 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?

P = €25 0003% / 12N = 84

I = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €30 000 hôm nay và mang về €8 000, €11 000, €7 500, €10 500 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Chi phí vốn là 8%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 11 000CF₃ = 7 500CF₄ = 10 500

DPB = năm

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang lại €4 000, €7 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 3 năm. Lợi suất đáo hạn là 4% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 4%n = 3

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €965 với lợi suất đến ngày đáo hạn 5% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 8,1 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 100 điểm cơ bản.

P₀ = €965y = 5%D = 8,1Δy = +100 bp

P = €

7.CAPM và WACCTrung bình

Một cổ phiếu có beta 2 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 16,5%. Lãi suất phi rủi ro là 3,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng r_m là bao nhiêu?

β = 2r_e = 16,5%r_f = 3,5%

r_m = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €30,50 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €1 050 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 1% và lợi suất thị trường 6%. Tìm WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 6%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 13, 10, 47, 22, 31, 58.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 194.

μ = 170σ = 12x = 194

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

10 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,1

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 4 trong số đó vượt quá 99 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 99 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 114,5 và độ lệch chuẩn s = 2. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 114,5s = 295%t(7) = 2,365

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 17. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 17E = 499%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 100; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 24. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 quan sát có trung bình 92,24. Kiểm định H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 100σ = 24n = 36x̄ = 92,24H₁: μ < μ₀

p =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 81 phép đo có trung bình 498,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 498,6σ = 5n = 8190%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 36Σy = 258Σx² = 286Σy² = 11552Σxy = 1726

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 110?

n = 5ŷ = 110

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: EAR = 19,56 %

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất mỗi kỳ

r/m = 0,18/12 = 0,015

Ghép lãi trong một năm

EAR = (1 + 0,015)¹² − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%

Đáp số

EAR = 19,56%

EAR luôn cao hơn lãi suất danh nghĩa khi lãi được ghép nhiều hơn một lần mỗi năm.

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: I = 2748 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,0025, N = 84

A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁸⁴) = €330,33

Tổng tiền lãi

I = N·A − P = 84·330,3 − 25 000 = €2 747,93

Đáp số

I = €2 747,93

3.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 3,934 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 8 000/1,08 = 7 407,41 → Σ = 7 407,41

năm 2: 11 000/1,166 = 9 430,73 → Σ = 16 838,13

năm 3: 7 500/1,26 = 5 953,74 → Σ = 22 791,88

năm 4: 10 500/1,36 = 7 717,81 → Σ = 30 509,69

Phần của năm cuối

DPB = 3 + 7 208,12/7 717,81 = 3,934

Đáp số

DPB = 3,934 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,333 năm).

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 6,023 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(5%) = 158,73

NPV(10%) = −578,51

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 5 + 5·158,73/(158,73 − (−578,51)) = 6,077%

chính xác: NPV(6,023%) = 0 → IRR = 6,023%

Đáp số

IRR = 6,023%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1028 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €25,00, i = 0,02, N = 6

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€25,00·(1 − 0,888)/0,02 = €140,04

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,888 = €887,97

Giá

P = €1 028,01

Đáp số

P = €1 028,01

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 890,6 €

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Thời lượng điều chỉnh

D_mod = 8,1/1,05 = 7,714

Thay đổi giá ước lượng

%ΔP ≈ −7,714·(0,01) = −7,714%

P ≈ 965·(1 − 0,07714) = €890,56

Đáp số

P = €890,56

Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_m = 10 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Phần bù rủi ro thị trường

r_m − r_f = (16,5% − 3,5%)/2 = 6,5%

Tỉ suất sinh lợi thị trường

r_m = 3,5% + 6,5% = 10%

Đáp số

r_m = 10%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,683 %

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€30,50 = €152 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·5% = 7%

Trọng số

V = €194 500 000, E/V = 0,7841, D/V = 0,2159

WACC

WACC = 0,7841·7% + 0,2159·7%·(1 − 0,21) = 6,683%

Đáp số

WACC = 6,683%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,87

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 201/7 = 28,71

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + (−15,71)² + (−18,71)² + 18,29² + (−6,714)² + 2,286² + 29,29² = 1915

Độ lệch chuẩn

s = √(1915/6) = 17,87

Đáp số

s = 17,87

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 2

Chuẩn hóa

z = (194 − 170)/12 = 2

Đáp số

z = 2

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 0,7

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Phương sai

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Đáp số

Var(X) = 0,7

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,7361

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

Cộng lại

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

Đáp số

P = 0,7361

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Chuẩn hóa

z = (99 − 100)/1 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9099

Phân bố của hiệu

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Đáp số

P = 0,9099

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 116,2

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Sai số biên

E = 2,365·2/√8 = 1,672

Khoảng

114,5 ± 1,672 → [112,8, 116,2]

Đáp số

giới hạn trên = 116,2

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 120

Giải tìm n

n = (2,576·17/4)² = 119,9

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 120

Đáp số

n = 120

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,02619

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (92,24 − 100)/4 = −1,94

Diện tích đuôi

Φ(1,94) = 0,9738

1 − Φ(1,94) = 0,0262

Giá trị p

p = 0,02619

Đáp số

p = 0,02619

p ≤ 0,05, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5%.

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 497,7

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

Giới hạn của khoảng

L = 498,6 − 0,9139 = 497,7

Đáp số

L = 497,7

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9941

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1726 − 36·258/6 = 178

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 11552 − 258²/6 = 458

Hệ số tương quan

r = 178/√(70·458) = 0,9941

Đáp số

r = 0,9941

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 25,41

Các giá trị trung bình

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 517/5 = 103,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420

Đường hồi quy

b = 420/90 = 4,667

a = 103,4 − 4,667·24 = −8,6

ŷ = −8,6 + 4,667·x

Giải tìm x

x = (110 − (−8,6))/4,667 = 25,41

Đáp số

x = 25,41

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income