Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €8 000 với lãi suất danh nghĩa 2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.

PV = €8 0002% / 12n = 8

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 4 năm với lãi suất 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?

P = €25 0007,2% / 12N = 48

I = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €12 000, €11 000, €11 000, €11 000. Chi phí vốn là 15%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 000CF₄ = 11 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 và mang lại €23 500, €37 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 37 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4% và đáo hạn sau 12 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 7% thành 8%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?

F = €1 000coupon = 4%n = 12y₁ = 7%y₂ = 8%

ΔP = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 075 với lợi suất đến ngày đáo hạn 4% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 11,7 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 25 điểm cơ bản.

P₀ = €1 075y = 4%D = 11,7Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. WACC của nó là 10,68%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 25,8%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e.

E = €6 000 000D = €2 000 000WACC = 10,68%r_d = 5%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €15 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 13%. Nợ của công ty gồm 8 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%, còn 4 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €1 036 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 28%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.

E = €15 000 000r_e = 13%trái phiếu: 8 000 × €1 036coupon = 5%n = 4T = 28%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 30, 34, 41, 55, 13, 19.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 64,8 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 8x = 64,8

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,15, 0,35, 0,1

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 8 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 1 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 8p = 0,4k = 1

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó nhỏ hơn 438,4 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 438.4 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 15 phần tử có trung bình 100 và độ lệch chuẩn s = 1,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 15x̄ = 100s = 1,599%t(14) = 2,977

giới hạn dưới =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 18E = 299%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

15 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là 2,98 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 10,5. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = 2,98s_d = 10,5

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 123,1. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 123,1σ = 10n = 4995%

U =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (1,5, 29) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 29)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 9387 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·8 = 96

Giá trị tương lai

FV = 8 000·(1 + 0,001667)⁹⁶ = 8 000·1,173 = €9 386,84

Đáp số

FV = €9 386,84

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: I = 3847 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,006, N = 48

A = 25 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁴⁸) = €600,98

Tổng tiền lãi

I = N·A − P = 48·601 − 25 000 = €3 846,97

Đáp số

I = €3 846,97

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 2274 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 12 000/1,15 = 10 434,78

CF₂/(1 + 0,15)² = 11 000/1,322 = 8 317,58

CF₃/(1 + 0,15)³ = 11 000/1,521 = 7 232,68

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 11 000/1,749 = 6 289,29

Cộng lại

NPV = €2 274,33

Đáp số

NPV = €2 274,33

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 12,68 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(10%) = 1 942,15

NPV(15%) = −1 587,90

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 10 + 5·1 942,15/(1 942,15 − (−1 587,90)) = 12,75%

chính xác: NPV(12,68%) = 0 → IRR = 12,68%

Đáp số

IRR = 12,68%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: ΔP = −63,16 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá ở lợi suất cũ

C = €40,00, i = 0,07, N = 12

€40,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €317,71 + €444,01 = €761,72

Giá ở lợi suất mới

C = €40,00, i = 0,08, N = 12

€40,00·(1 − 0,3971)/0,08 + €1 000·0,3971 = €301,44 + €397,11 = €698,56

Thay đổi

ΔP = 698,56 − 761,72 = −€63,16

Đáp số

ΔP = −€63,16

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1045 €

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Thời lượng điều chỉnh

D_mod = 11,7/1,04 = 11,25

Thay đổi giá ước lượng

%ΔP ≈ −11,25·(0,0025) = −2,812%

P ≈ 1075·(1 − 0,02812) = €1 044,77

Đáp số

P = €1 044,77

Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 13 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Phần nợ trong WACC

0,25·5%·(1 − 0,258) = 0,9275%

Chi phí vốn chủ sở hữu

r_e = (10,68% − 0,9275%)/0,75 = 13%

Đáp số

r_e = 13%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,4 %

Chi phí nợ (YTM)

1036 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 4,008%

Giá trị thị trường

D = 8 000·€1 036 = €8 288 000

V = €23 288 000, E/V = 0,6441, D/V = 0,3559

WACC

WACC = 0,6441·13% + 0,3559·4,008%·(1 − 0,28) = 9,4%

Đáp số

WACC = 9,4%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,15

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 192/6 = 32

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−2)² + 2² + 9² + 23² + (−19)² + (−13)² = 1148

Độ lệch chuẩn

s = √(1148/5) = 15,15

Đáp số

s = 15,15

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7257

Chuẩn hóa

z = 0,6

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Đáp số

P = 0,7257

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,29

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,1 = 5,7

Phương sai

Var(X) = 5,7 − 2,1² = 1,29

Đáp số

Var(X) = 1,29

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,08958

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 1) = 8·0,4¹·0,6⁷ = 8·0,4·0,02799 = 0,08958

Đáp số

P = 0,08958

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6915

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Chuẩn hóa

z = (438,4 − 425)/26,83 = 0,5

Xác suất

P = Φ(0,5) = 0,6915

Đáp số

P = 0,6915

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 527 h

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Quay lại x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Đáp số

x = 526,98 h

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 98,85

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Sai số biên

E = 2,977·1,5/√15 = 1,153

Khoảng

100 ± 1,153 → [98,85, 101,2]

Đáp số

giới hạn dưới = 98,85

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 538

Giải tìm n

n = (2,576·18/2)² = 537,5

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 538

Đáp số

n = 538

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,099

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Sai số chuẩn của hiệu trung bình

SE = 10,5/√15 = 2,711

Thống kê kiểm định

t = 2,98/2,711 = 1,099

Đáp số

t = 1,099

Với df = 14, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,145; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 125,9

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,96·10/√49 = 2,8

Giới hạn của khoảng

U = 123,1 + 2,8 = 125,9

Đáp số

U = 125,9

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9962

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 566,8

Hệ số tương quan

r = 150/√(40·566,8) = 0,9962

Đáp số

r = 0,9962

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,629

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 168/6 = 28

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23

Đường hồi quy

b = 23/17,5 = 1,314

a = 28 − 1,314·3,5 = 23,4

ŷ = 23,4 + 1,314·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 23,4 + 1,314·1,5 = 25,37

Phần dư

e = 29 − 25,37 = 3,629

Đáp số

e = 3,629

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income