Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất 8% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 3 năm.
PV = €20 000r = 8%t = 3
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €200 vào cuối mỗi tháng trong 25 năm. Tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €2006% / 12N = 300
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €23 000, €31 000, €33 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €25 000 và mang lại €10 500, €12 000, €13 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 12 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 6 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 3%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 4,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 6y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% và đáo hạn sau 3 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn là 6%. Tìm thời lượng Macaulay D theo năm.
F = €1 000coupon = 2%n = 3YTM = 6%
D = năm
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,25. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 13%, chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.
D/E = 0,25re = 13%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €57,50 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 3% và lợi suất thị trường 9,5%. Tìm WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 9,5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 54, 25, 11, 28, 55, 10.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 90,4 là bao nhiêu?
μ = 100σ = 12x = 90,4
P =
11.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 5 người từ một nhóm 14 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 14k = 5
N =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 5 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,5k = 4
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 247,75 và 255 g? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 250σ = 5x1 = 247,75x2 = 255
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 8 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −4,8 và độ lệch chuẩn 1,7. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
n = 8d̄ = −4,8sd = 1,795%t(7) = 2,365
E = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 19E = 2,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 499,6 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 499,6s = 4n = 81
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ > 100 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 36; độ lệch chuẩn đã biết là 18. Trên thực tế trung bình là 107,2. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.
μ₀ = 100μ = 107,2σ = 18n = 36α = 0,01
β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 102?
n = 5ŷ = 102
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 25425 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số mũ
r·t = 0,08·3 = 0,24
e0,24 = 1,271
Giá trị tương lai
FV = 20 000·1,271 = €25 424,98
Đáp số
FV = €25 424,98
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 138599 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 23 000/1,07 = 21 495,33
CF2/(1 + 0,07)2 = 31 000/1,145 = 27 076,60
CF3/(1 + 0,07)3 = 33 000/1,225 = 26 937,83
Cộng lại
NPV = €509,76
Đáp số
NPV = €509,76
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 19,03 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(15%) = 1 751,87
NPV(20%) = −393,52
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
t = 1: 20/1,06 = 18,87, t·PV = 18,87
t = 2: 20/1,124 = 17,80, t·PV = 35,60
t = 3: 1020/1,191 = 856,41, t·PV = 2 569,24
Thời lượng
P = 893,08
D = 2 623,70/893,08 = 2,938
Đáp số
D = 2,938 năm
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,93 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Các tỉ trọng từ D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·3,5%·(1 − 0,25) = 10,93%
Đáp số
WACC = 10,93%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 12,39 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,8
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
11.Xác suất
Đáp số: N = 2002
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
Đáp số
N = 2002
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,1563
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 4) = 5·0,54·0,51 = 5·0,0625·0,5 = 0,1563
Đáp số
P = 0,1563
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,515
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
Diện tích ở giữa
P = Φ(1) − Φ(−0,45) = 0,8413 − 0,3264 = 0,515
Đáp số
P = 0,515
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8264
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264
Đáp số
P = 0,8264
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 1,421 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 7, t = 2,365
Sai số biên
E = 2,365·1,7/√8 = 1,421
Đáp số
E = 1,421 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 384
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·19/2,5)² = 383,3
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 384
Đáp số
n = 384
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,9
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Thống kê kiểm định
t = (499,6 − 500)/0,4444 = −0,9
Đáp số
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: β = 47,05 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 100 + 2,326·3 = 107
z theo trung bình thật
z = (107 − 107,2)/3 = −0,074
Sai lầm loại II
lực của kiểm định = P(Z > −0,074) = 52,95%
β = 100% − 52,95% = 47,05%
Đáp số
β = 47,05%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9257
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80
Hệ số xác định
r² = −36²/(17,5·80) = 0,9257
Đáp số
r² = 0,9257
Khoảng 92,57% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 20,05
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 476/5 = 95,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
Đường hồi quy
b = 260/40 = 6,5
a = 95,2 − 6,5·19 = −28,3
ŷ = −28,3 + 6,5·x
Giải tìm x
x = (102 − (−28,3))/6,5 = 20,05
Đáp số
x = 20,05
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.