Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €6 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 3% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 8% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €6 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €150 vào cuối mỗi tháng trong 28 năm. Tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €1504,8% / 12N = 336
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €50 000 hôm nay, dùng được 5 năm và tốn €4 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 6%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.
C0 = €50 000M = €4 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €7 000, €5 500, €7 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 500CF3 = 7 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 7 năm. Lợi suất đáo hạn là 3,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3,5%n = 7
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 8% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 6 năm. Nó được bán với giá €1 305. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 8% (2×)n = 6P = €1 305
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €12 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.
Một công ty có 2 500 000 cổ phiếu giá €17,50 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,1, lãi suất phi rủi ro 4% và lợi suất thị trường 11%. Tìm WACC.
β = 1,1rf = 4%rm = 11%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 51, 48, 47, 49, 54, 20, 12.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 90.
μ = 50σ = 20x = 90
z =
11.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 3 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
8 / 3
P =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €3 mỗi lượt. Bạn thắng €15 với xác suất 0,25 và €60 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €3€15: p = 0,25€60: p = 0,05
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 29,5 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 25% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm25%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 53 h, độ lệch chuẩn đã biết 8 h. Mẫu 2: 40 điện thoại, trung bình 64,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 17 h. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
Đường kính của 30 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 0,6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 29, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 16,047 và 2,5% nằm trên 45,722.
n = 30s = 0,6 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
10 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là 3,12 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 7,6. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 3,12sd = 7,6
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 100 phép đo có trung bình 199. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 199σ = 20n = 10090%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 48?
n = 5ŷ = 48
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 120000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.
Hệ số niên kim
(1 − 1,06−5)/0,06 = 4,212
Giá mua quy đổi theo năm
50 000/4,212 = 11 869,82
EAC
EAC = 11 869,82 + 4 000 = €15 869,82
Đáp số
EAC = €15 869,82
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 44,21 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(40%) = 539,36
NPV(45%) = −96,35
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 40 + 5·539,36/(539,36 − (−96,35)) = 44,24%
chính xác: NPV(44,21%) = 0 → IRR = 44,21%
Đáp số
IRR = 44,21%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 1216 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €35,00, i = 0,0175, N = 14
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€35,00·(1 − 0,7844)/0,0175 = €431,27
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,7844 = €784,36
Giá
P = €1 215,64
Đáp số
P = €1 215,64
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 2,495 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €40,00, N = 12
Giải bằng số
i = 1,248% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·1,248% = 2,495%
Đáp số
YTM = 2,495%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,71 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·12% + 0,1429·4%·(1 − 0,25) = 10,71%
Đáp số
WACC = 10,71%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,411 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (90 − 50)/20 = 2
Đáp số
z = 2
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,5091
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
Đáp số
P = 0,5091
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = 3,75 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 12 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 12·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 3,75 €
Đáp số
E(G) = 3,75 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 58,3 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,25
z từ bảng
z ≈ −0,67
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 − 0,67·10 = 58,3 điểm
Đáp số
x = 58,3 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 4,613 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 53 − 64,5 = −11,5
Sai số chuẩn
SE = √(8²/100 + 17²/40) = 2,804
Sai số biên
E = 1,645·2,804 = 4,613
Đáp số
E = 4,613 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 0,8066 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 29·0,6² = 10,44
Các giới hạn cho σ²
10,44/45,722 = 0,2283
10,44/16,047 = 0,6506
Giới hạn cho σ
σ = √0,6506 = 0,8066 µm
Đáp số
σ = 0,8066 µm
Khoảng 95% cho σ: [0,4778, 0,8066] µm.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 1,298
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Sai số chuẩn của hiệu trung bình
SE = 7,6/√10 = 2,403
Thống kê kiểm định
t = 3,12/2,403 = 1,298
Đáp số
t = 1,298
Với df = 9, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,262; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 195,7
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·20/√100 = 3,29
Giới hạn của khoảng
L = 199 − 3,29 = 195,7
Đáp số
L = 195,7
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9361
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 228/5 = 45,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 41,2
Hệ số tương quan
r = 19/√(10·41,2) = 0,9361
Đáp số
r = 0,9361
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 1,492
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.