Bạn cần €5 000 sau 6 năm. Một tài khoản trả lãi 3% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.
FV = €5 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn tiết kiệm €50 vào cuối mỗi tháng trong 10 năm. Tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.
A = €504,8% / 12N = 120
FV = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €20 000, €21 000, €23 000, €26 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €4 500, €5 000, €7 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 5 năm. Lợi suất đáo hạn là 2,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 6% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €1 120. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €1 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €56,00 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €1 050 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 3,5% và lợi suất thị trường 9,5%. Tìm WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 37, 25, 17, 30, 16, 24, 13.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 190 là bao nhiêu?
μ = 170σ = 20x = 190
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €10 với xác suất 0,3 và €100 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €2€10: p = 0,3€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,4581. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,4581
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 70% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 65 điểmσ = 10 điểm70%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 7 phần tử có trung bình 42 và độ lệch chuẩn s = 10,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 7x̄ = 42s = 10,590%t(6) = 1,943
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 94 kg, độ lệch chuẩn 2 kg. Nhóm ô 2: 8 ô, trung bình 87,5 kg, độ lệch chuẩn 7 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 29) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 29)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 4179 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,196 = €4 179,16
Đáp số
PV = €4 179,16
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 7682 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 20 000/1,09 = 18 348,62
CF2/(1 + 0,09)2 = 21 000/1,188 = 17 675,28
CF3/(1 + 0,09)3 = 23 000/1,295 = 17 760,22
CF4/(1 + 0,09)4 = 26 000/1,412 = 18 419,06
Cộng lại
NPV = €−2 796,82
Đáp số
NPV = €−2 796,82
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 27,39 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(25%) = 384,00
NPV(30%) = −393,72
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 25 + 5·384,00/(384,00 − (−393,72)) = 27,47%
chính xác: NPV(27,39%) = 0 → IRR = 27,39%
Đáp số
IRR = 27,39%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 1023 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €15,00, i = 0,0125, N = 10
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€15,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €140,18
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8832 = €883,18
Giá
P = €1 023,36
Đáp số
P = €1 023,36
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 4,485 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·11% + 0,25·7%·(1 − 0,28) = 9,51%
Đáp số
WACC = 9,51%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 11,16 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Đáp số
P = 0,1587
11.Xác suất
Đáp số: σ = 0,8047
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Phương sai
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Đáp số
σ = 0,8047
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = 3 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 8 (p = 0,3), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 8·0,3 + 98·0,02 − 2·0,68 = 3 €
Đáp số
E(G) = 3 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 0,61
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,4581)/2 = 0,7291
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,7291 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 0,61
Đáp số
z = 0,61
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 70,2 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,7
z từ bảng
z ≈ 0,52
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 điểm
Đáp số
x = 70,2 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 49,71
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Sai số biên
E = 1,943·10,5/√7 = 7,711
Khoảng
42 ± 7,711 → [34,29, 49,71]
Đáp số
giới hạn trên = 49,71
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 11,79 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (5·2² + 7·7²)/12 = 30,25
sp = 5,5
Sai số biên
E = 1,782·5,5·√(1/6 + 1/8) = 5,293
Khoảng
6,5 ± 5,293 → [1,207, 11,79]
Đáp số
giới hạn trên = 11,79 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,898
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Thống kê kiểm định
t = (79,83 − 75)/1,667 = 2,898
Đáp số
t = 2,898
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 271
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (1,645·15/1,5)² = 270,6
Làm tròn lên
n = 271
Đáp số
n = 271
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,99
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 10991 − 147·424/6 = 603
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 32318 − 424²/6 = 2355
Hệ số tương quan
r = 603/√(157,5·2355) = 0,99
Đáp số
r = 0,99
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 4,95
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Đường hồi quy
b = −17/10 = −1,7
a = 23,2 − (−1,7)·3 = 28,3
ŷ = 28,3 − 1,7·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 28,3 + (−1,7)·2,5 = 24,05
Phần dư
e = 29 − 24,05 = 4,95
Đáp số
e = 4,95
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.