Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €5 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 1% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 3% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €5 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm. Lãi suất là 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €150 0002,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €40 000 hôm nay. Nó tạo ra €9 500 vào cuối mỗi năm trong 5 năm và sau đó có thể bán với giá €6 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €40 000CF = €9 500S = €6 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €40 000 và mang lại €24 500, €26 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 26 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 11 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 090 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 11P = €1 090YTM = 3,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 11 năm. Nó được bán với giá €1 265. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 11P = €1 265
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €10 000 000 và nợ trị giá €5 000 000. WACC của nó là 6,27%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 30%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re.
Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €49,50; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €29 700 000. Công ty vừa trả cổ tức €1,80 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 5% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €59 400 000 và chi phí trước thuế 6%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 2 000 000P0 = €49,50vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €29 700 000D0 = €1,80g = 5%D = €59 400 000rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 41, 18, 32, 21, 25, 55.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 65.
μ = 60σ = 5x = 65
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1
σ =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,15Y = 2X + 1
σY =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 100,75 và 108,25 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 100σ = 15x1 = 100,75x2 = 108,25
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 5).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 8 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 3 và độ lệch chuẩn 3,3. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho hiệu trung bình.
n = 8d̄ = 3sd = 3,390%t(7) = 1,895
E = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 18E = 590%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 501,2 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 10n = 36
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 64 phép đo có trung bình 119,2. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
x̄ = 119,2σ = 8n = 6499%
U =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 69?
n = 6ŷ = 69
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 250000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·20 = 240
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,6191
A = 150 000·0,002/(1 − 0,6191) = €787,57
Đáp số
A = €787,57
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 2014 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của các dòng tiền hằng năm
9 500·3,993 = 37 930,75
Giá trị hiện tại của giá trị thanh lý
6 000/1,469 = 4 083,50
NPV
NPV = −40 000 + 37 930,75 + 4 083,50 = €2 014,24
Đáp số
NPV = €2 014,24
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 17,59 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(15%) = 1 342,16
NPV(20%) = −1 180,56
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,035)−11 = €684,95
Trái tức
C = (1090 − 684,95)/9,002 = €45,00
Lãi suất coupon
c = 45/1000 = 4,5%
Đáp số
c = 4,5%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 3,999 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €35,00, N = 22
Giải bằng số
i = 1,999% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,999%
Đáp số
YTM = 3,999%
7.CAPM và WACC
Đáp số: re = 8,005 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Phần nợ trong WACC
0,3333·4%·(1 − 0,3) = 0,9333%
Chi phí vốn chủ sở hữu
re = (6,27% − 0,9333%)/0,6667 = 8,005%
Đáp số
re = 8,005%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,199 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (65 − 60)/5 = 1
Đáp số
z = 1
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,96
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,4
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,6
Phương sai
Var(X) = 9,6 − 2,4² = 3,84
σ = √3,84 = 1,96
Đáp số
σ = 1,96
12.Xác suất
Đáp số: σY = 1,939
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,4, Var(X) = 0,94, σX = 0,9695
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |2|·0,9695 = 1,939
Đáp số
σY = 1,939
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·2,4 + 1 = 5,8.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,1889
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05
z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,55) − Φ(0,05) = 0,7088 − 0,5199 = 0,1889
Đáp số
P = 0,1889
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 75,33 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Quay lại x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 điểm
Đáp số
x = 75,33 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 2,211 mmHg
Khoảng tin cậy cho một hiệu: ước lượng ± giá trị tới hạn × sai số chuẩn. Với hai trung bình độc lập có σ đã biết: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) và z. Với các phương sai bằng nhau chưa biết: s_p gộp và t với n₁ + n₂ − 2 bậc tự do. Với dữ liệu ghép cặp, làm việc với các hiệu: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 7, t = 1,895
Sai số biên
E = 1,895·3,3/√8 = 2,211
Đáp số
E = 2,211 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 36
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·18/5)² = 35,07
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 36
Đáp số
n = 36
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,72
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Thống kê kiểm định
t = (501,2 − 500)/1,667 = 0,72
Đáp số
t = 0,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 121,8
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 2,576·8/√64 = 2,576
Giới hạn của khoảng
U = 119,2 + 2,576 = 121,8
Đáp số
U = 121,8
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9161
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 290/5 = 58
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1006
Hệ số xác định
r² = 288²/(90·1006) = 0,9161
Đáp số
r² = 0,9161
Khoảng 91,61% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 23,89
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 356/6 = 59,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174
Đường hồi quy
b = 174/70 = 2,486
a = 59,33 − 2,486·20 = 9,619
ŷ = 9,619 + 2,486·x
Giải tìm x
x = (69 − 9,619)/2,486 = 23,89
Đáp số
x = 23,89
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.