Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €6 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 4,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €6 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay thế chấp €300 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 4,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 5 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.
P = €300 0004,2% / 12N = 240k = 60
B = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €50 000 hôm nay, dùng được 6 năm và tốn €3 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 12%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.
C0 = €50 000M = €3 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €80 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €12 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 4% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 6. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €80 000CF1 = €12 000g = 4%n = 6r = 8%
NPV = €
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 4 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4%n = 4y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 8 năm và được bán với giá €935. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €935
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €5 000 000. WACC của nó là 8,73%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 20%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re.
Một công ty có 2 500 000 cổ phiếu giá €29,50 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 0,9, lãi suất phi rủi ro 2,5% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 7%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 52, 38, 49, 39, 39, 16.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 162,5.
μ = 170σ = 15x = 162,5
z =
11.Xác suấtTrung bình
Gieo một con xúc xắc cân đối 2 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?
n = 2
P =
12.Xác suấtKhó
5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,4
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 9 trong số đó vượt quá 227,3 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 227,3 kg
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 8 phần tử có trung bình 10,5 và độ lệch chuẩn s = 8. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 8x̄ = 10,5s = 899%t(7) = 3,499
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 8 ô, năng suất trung bình 52,5 kg, độ lệch chuẩn 5,5 kg. Nhóm ô 2: 9 ô, trung bình 63,5 kg, độ lệch chuẩn 7 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 199,6 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,6s = 4n = 64
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 81 phép đo có trung bình 50,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
x̄ = 50,3σ = 8n = 8190%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 21) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 21)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 300000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.
N − k = 240 − 60 = 180
B = 1850·(1 − (1 + 0,0035)−180)/0,0035 = €246 710,42
Đáp số
B = €246 710,42
3.NPV và IRR
Đáp số: EAC = 15161 €
Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.
Hệ số niên kim
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Giá mua quy đổi theo năm
50 000/4,111 = 12 161,29
EAC
EAC = 12 161,29 + 3 000 = €15 161,29
Đáp số
EAC = €15 161,29
4.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −19210 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Giải bằng số
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €932,67
YTM = 3,964%
Đáp số
YTM = 3,964%
7.CAPM và WACC
Đáp số: re = 13,01 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
Phần nợ trong WACC
0,4545·4,5%·(1 − 0,2) = 1,636%
Chi phí vốn chủ sở hữu
re = (8,73% − 1,636%)/0,5455 = 13,01%
Đáp số
re = 13,01%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 6,164 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (162,5 − 170)/15 = −0,5
Đáp số
z = −0,5
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,3056
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Đáp số
P = 0,3056
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,337
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,65 = 0,07776
P(X = 1) = 5·0,4·0,64 = 0,2592
Cộng lại
P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337
Đáp số
P = 0,337
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,06301
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Chuẩn hóa
z = (227,3 − 225)/1,5 = 1,53
Xác suất
P = 1 − Φ(1,53) = 0,06301
Đáp số
P = 0,06301
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8849
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Đáp số
P = 0,8849
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 9,897
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Sai số biên
E = 3,499·8/√8 = 9,897
Đáp số
E = 9,897
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −17,57 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (7·5,5² + 8·7²)/15 = 40,25
sp = 6,344
Sai số biên
E = 2,131·6,344·√(1/8 + 1/9) = 6,569
Khoảng
−11 ± 6,569 → [−17,57, −4,431]
Đáp số
giới hạn dưới = −17,57 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,8
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Thống kê kiểm định
t = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8
Đáp số
t = −0,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 48,84
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,645·8/√81 = 1,462
Giới hạn của khoảng
L = 50,3 − 1,462 = 48,84
Đáp số
L = 48,84
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9981
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 98/6 = 16,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 331,3
Hệ số tương quan
r = 152/√(70·331,3) = 0,9981
Đáp số
r = 0,9981
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 3,5
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Đường hồi quy
b = −26/10 = −2,6
a = 21,4 − (−2,6)·3 = 29,2
ŷ = 29,2 − 2,6·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 29,2 + (−2,6)·4,5 = 17,5
Phần dư
e = 21 − 17,5 = 3,5
Đáp số
e = 3,5
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.