Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
  2. BChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  3. CChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  4. DChọn hoạt động ngắn nhất trước
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Điều gì sẽ xảy ra nếu ai đó tìm được thuật toán thời gian đa thức cho một bài toán NP-đầy đủ?

  1. AMọi thuật toán thời gian hàm mũ sẽ lập tức chạy trong thời gian tuyến tính
  2. BChỉ bài toán đó chuyển vào P
  3. CMọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
  4. DBài toán dừng trở nên quyết định được
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, hệ số tải tối đa có thể là bao nhiêu?

  1. A1
  2. BKhông có mức tối đa
  3. C2
  4. D0,5
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc union-find (tập rời nhau) với hợp theo hạng và nén đường đi có chi phí khấu hao mỗi thao tác là:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CChính xác O(log n)
  4. DO(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 7 đỉnh và 17 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 7|E| = 17
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
13106111211108ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP

Vì sao đây là đáp án

Vì toàn bộ NP quy dẫn về bất kỳ bài toán NP-đầy đủ nào trong thời gian đa thức, một thuật toán nhanh cho một bài sẽ cho thuật toán nhanh cho tất cả.

Đáp số

C · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 1

Vì sao đây là đáp án

Với địa chỉ mở, mọi khóa được lưu ngay trong bảng, nên n không thể vượt m; xâu chuỗi riêng có thể có hệ số tải trên 1.

Đáp số

A · 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số

Vì sao đây là đáp án

Với cả hai tối ưu hóa, các thao tác tốn thời gian khấu hao O(α(n)); α(n) ≤ 4 với mọi n thực tế.

Đáp số

D · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 11

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

7 − 1 = 6

Các cạnh cần bỏ

k = 17 − 6 = 11

Đáp số

k = 11
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 30

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 13, C: 10
C (10): E: 21
B (13): D: 19
D (19): F: 30
E (21)
F (30)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 30

Đáp số

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms