Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm nhị phân cần khoảng bao nhiêu phép so sánh trong trường hợp xấu nhất trên một mảng đã sắp xếp có 1,000,000 phần tử?

  1. AKhoảng 500,000
  2. BKhoảng 20
  3. CKhoảng 100
  4. DKhoảng 1,000
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tra cứu trung bình trong bảng băm là O(1) nhưng trường hợp xấu nhất là O(n)?

  1. ANhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
  2. BHàm băm chậm
  3. CCác khóa phải được sắp xếp trước
  4. DMảng có truy cập O(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Ma trận kề của một đồ thị có V đỉnh dùng bao nhiêu bộ nhớ?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chi phí thời gian và không gian bổ sung của việc đảo ngược danh sách liên kết đơn tại chỗ là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(n log n) và không gian bổ sung O(1)
  2. BThời gian O(1) và không gian bổ sung O(1)
  3. CThời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
  4. DThời gian O(n) và không gian bổ sung O(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
146318101316ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 4
  1. 1cạnh AC
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh BD
  4. 4cạnh CE
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Khoảng 20

Vì sao đây là đáp án

220 ≈ 1,048,576, nên sau khoảng 20 lần chia đôi chỉ còn lại một phần tử.

Đáp số

B · Khoảng 20
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn

Vì sao đây là đáp án

Với hàm băm tốt và hệ số tải hợp lý, các ngăn vẫn ngắn trung bình; băm kém hoặc bị tấn công có thể đưa mọi khóa vào một ngăn.

Đáp số

A · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Ma trận kề lưu V × V phần tử, hiệu quả với đồ thị dày; danh sách kề dùng O(V + E), tốt hơn cho đồ thị thưa.

Đáp số

A · O(V²)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)

Vì sao đây là đáp án

Giữ ba con trỏ (trước, hiện tại, kế tiếp) cho phép đảo từng liên kết trong một lượt mà không cấp phát nút mới.

Đáp số

C · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. AC (1)
2. CE (3)
3. BC (4)
4. BD (6)
5. DF (10)

cạnh số 4

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms