Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + O(n) có nghiệm là:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao mọi tìm kiếm dựa trên so sánh trong một mảng đã sắp xếp cần Ω(log n) phép so sánh trong trường hợp xấu nhất?

  1. AMọi phần tử phải được so sánh ít nhất một lần
  2. BMỗi phép so sánh mất thời gian logarit
  3. CTìm kiếm nhị phân là thuật toán khả dĩ duy nhất, và nó cần log₂ n phép so sánh
  4. DMột cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. AChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
  2. BTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DKhông nút nào có hai con
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Nếu không có hợp theo hạng hay nén đường đi, chi phí trường hợp xấu nhất của một lần find trong cấu trúc union-find với n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 4, 4 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Theo định lý chủ (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Đáp số

C · O(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phép so sánh nhiều nhất làm giảm một nửa tập các khả năng còn lại, nên để phân biệt n vị trí cần ít nhất log₂ n phép so sánh.

Đáp số

D · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

A · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Phép hợp ngây thơ có thể nối các cây thành một chuỗi dài, nên find có thể đi theo n − 1 con trỏ cha; hai heuristic đưa nó gần hằng số.

Đáp số

D · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 22

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Đáp số

L = 22

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)BB = 0·1 + 3·0 + 1·1 + 1·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms