Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng có độ dài 2
  2. BMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  3. CMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  4. DMột mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  2. BPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
  3. CPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
  4. DNó bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Nếu không có hợp theo hạng hay nén đường đi, chi phí trường hợp xấu nhất của một lần find trong cấu trúc union-find với n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 42 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
9271338121ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

D · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

B · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Phép hợp ngây thơ có thể nối các cây thành một chuỗi dài, nên find có thể đi theo n − 1 con trỏ cha; hai heuristic đưa nó gần hằng số.

Đáp số

D · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 5) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 9, C: 2
2. C (2): E: 5
3. E (5): D: 13, B: 6
4. B (6)
5. D (13): F: 25
6. F (25)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms