Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một bài toán có cấu trúc con tối ưu nghĩa là gì?

  1. AMột lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
  2. BMọi bài toán con đều có cùng kích thước
  3. CBài toán có thể giải trong thời gian hằng số
  4. DBài toán có đúng một lời giải tối ưu, và mọi bài toán con đều dùng chung lời giải đó
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + n log n có nghiệm là gì?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. ACác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  2. BTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  3. CKhông nút nào có hai con
  4. DChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Xóa một nút có hai con khỏi cây tìm kiếm nhị phân thường được thực hiện bằng cách:

  1. AHoán đổi nó với gốc
  2. BXóa cả cây con
  3. CThay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
  4. DXây lại từ đầu cây con bên dưới nó và chèn lại mọi khóa mà nó chứa
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 17 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 17
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại D? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con

Vì sao đây là đáp án

Cấu trúc con tối ưu là điều kiện cần để cả thuật toán tham lam lẫn quy hoạch động cho đáp án đúng.

Đáp số

A · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Θ(n log² n)

Vì sao đây là đáp án

Tầng k thực hiện khoảng n log(n / 2ᵏ) công việc, và cộng trên log n tầng cho Θ(n log² n), trường hợp hai mở rộng của định lý chủ.

Đáp số

D · Θ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó

Vì sao đây là đáp án

Nút kế tiếp theo thứ tự giữa có tối đa một con, nên có thể xóa dễ dàng sau khi sao chép khóa của nó vào nút bị xóa.

Đáp số

C · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 17 − 14 = 3

Đáp số

k = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms