Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phát biểu nào về một hàm đệ quy không có trường hợp cơ sở nào đạt tới được là đúng?

  1. ANó tự động trả về 0
  2. BNó chạy trong thời gian O(1)
  3. CTrình biên dịch luôn biến nó thành một vòng lặp kết thúc an toàn
  4. DNó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Dùng định lý chủ, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) có nghiệm là:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cấu trúc dữ liệu nào được tìm kiếm theo chiều sâu (phiên bản lặp) sử dụng?

  1. AHàng đợi
  2. BNgăn xếp
  3. CĐống
  4. DChỉ bảng băm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao không thể đơn giản xóa phần tử khỏi bộ lọc Bloom chuẩn bằng cách xóa các bit của chúng?

  1. ACác bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
  2. BViệc xóa sẽ làm tỷ lệ dương tính giả tăng lên 100%
  3. CCác bit trong bộ lọc Bloom không thể thay đổi sau khi tạo
  4. DBộ lọc Bloom lưu đầy đủ các phần tử, và chúng không thể được tìm lại sau khi đã băm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 5, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
67157108949ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn

Vì sao đây là đáp án

Không có trường hợp cơ sở thì đệ quy không bao giờ dừng; trên thực tế bộ nhớ cho các khung ngăn xếp cạn kiệt và chương trình bị sập.

Đáp số

D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Θ(n³)

Vì sao đây là đáp án

log₂ 8 = 3, và n² tăng chậm hơn n³, nên các lá chiếm ưu thế: Θ(n³).

Đáp số

A · Θ(n³)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ngăn xếp

Vì sao đây là đáp án

DFS khám phá sâu nhất có thể, tự nhiên dùng ngăn xếp (hoặc ngăn xếp lời gọi của đệ quy); BFS dùng hàng đợi.

Đáp số

B · Ngăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Xóa một bit dùng chung sẽ làm phần tử khác trông như vắng mặt; bộ lọc Bloom đếm giữ bộ đếm thay vì bit để cho phép xóa.

Đáp số

A · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 16

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Đáp số

L = 16

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 33

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 6
B (6): C: 13, G: 14
C (13): E: 28
G (14): D: 18, E: 23
D (18)
E (23): F: 33
F (33)

Đường đi ngắn nhất

A → B → G → E → F
d(F) = 33

Đáp số

d(F) = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms